Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por , e pelo eixo . O conteúdo envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e então calcular a integral de sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva pode ser reescrita como . Então, temos três delimitações:
  1. (uma curva cúbica),
  2. (uma linha vertical),
  3. o eixo (onde ).
Essa região está situada entre e , e para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 3

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. A integral será:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é uma constante em relação a , a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que implica .

Passo 6

Aplicando a substituição:
Agora, avaliamos essa expressão de a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Considere uma barra de com 40 cm de comprimento cuja distribuição de temperatura inicial
é
. Suponha que e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.
(a) Encontre a temperatura .
Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
f) .
Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral