Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por , e pelo eixo . O conteúdo envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e então calcular a integral de sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A curva pode ser reescrita como . Então, temos três delimitações:
(uma curva cúbica),
(uma linha vertical),
o eixo (onde ).
Essa região está situada entre e , e para cada nesse intervalo, varia de 0 até .
Passo 3
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. A integral será:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 2.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é uma constante em relação a , a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que implica .
Passo 6
Aplicando a substituição:
integral e^x^4 cdot x^3 , dx = 14 integral e^u , du = 14 e^u + C = 14 e^x^4 + C
Agora, avaliamos essa expressão de 14 ( e^2^4 - e^0 ) = 14 (e^16 - 1) a :