Seja D a regiāo do plano delimitada por x=raiz[3]y, x=2 e pelo eixo x. Determine a integral dupla integral duplaD e^x^4 d A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por , e pelo eixo . O conteúdo envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e então calcular a integral de sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva pode ser reescrita como . Então, temos três delimitações:
  1. (uma curva cúbica),
  2. (uma linha vertical),
  3. o eixo (onde ).
Essa região está situada entre e , e para cada nesse intervalo, varia de 0 até .

Passo 3

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. A integral será:
integral duplaD e^x^4 , dA = integralx=0^2 integraly=0^x^3 e^x^4 , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integraly=0^x^3 e^x^4 , dy :
e^x^4 cdot y |0^x^3 = e^x^4 cdot x^3
Como é uma constante em relação a , a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que implica .

Passo 6

Aplicando a substituição:
integral e^x^4 cdot x^3 , dx = 14 integral e^u , du = 14 e^u + C = 14 e^x^4 + C
Agora, avaliamos essa expressão de 14 ( e^2^4 - e^0 ) = 14 (e^16 - 1) a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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