Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por , e pelo eixo . O conteúdo envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e então calcular a integral de sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A curva pode ser reescrita como . Então, temos três delimitações:
(uma curva cúbica),
(uma linha vertical),
o eixo (onde ).
Essa região está situada entre e , e para cada nesse intervalo, varia de 0 até .
Passo 3
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla. A integral será:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 2.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é uma constante em relação a , a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que implica .