Considere a barra de aço ABC de seções transversais circulares AC ( 60 mm de diâmetro) e CD ( 30 mm de diâmetro). Calcule (a) o valor da carga P aplicada em B de modo que o ponto D não se mova, (b) o correspondente deslocamento do ponto B em relação a A. Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de aço chamada ABC, que tem duas seções transversais diferentes: uma com diâmetro de 60 mm (seção AC) e outra com diâmetro de 30 mm (seção CD). Precisamos descobrir duas coisas:
a) Quanto de carga
é necessário aplicar no ponto
para que o ponto
não se mova.
b) Qual será o deslocamento do ponto
em relação ao ponto
.
Vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças, e de deformação axial, usando a fórmula da deformação em materiais. Também vamos usar a fórmula da área de um círculo para calcular as áreas das seções transversais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para o ponto
não se mover, a força aplicada
deve ser equilibrada pelas forças internas na barra. Isso significa que a força na seção AC deve igualar a força na seção CD.
Passo 3
Vamos calcular as áreas das duas seções para relacionar as forças. A área de uma seção circular é dada por:
onde
é o diâmetro.
Passo 4
Calculando a área da seção AC (60 mm de diâmetro):
E a área da seção CD (30 mm de diâmetro):
Passo 5
Agora, como a força na seção AC deve igualar a força na seção CD para que o ponto D não se mova, podemos escrever:
Sabemos que a força é igual à pressão (carga por unidade de área) vezes a área:
Como estamos equilibrando as forças:
Passo 6
A tensão
na seção AC pode ser relacionada com a seção CD através da deformação. Para que
não se mova, a deformação na seção AC deve ser igual à deformação na seção CD. A deformação
é dada por:
onde
é o módulo de elasticidade do aço, dado como
.
Passo 7
Igualando as deformações:
Isso simplifica para:
Portanto, a tensão nas duas seções é a mesma.
Passo 8
Substituindo
na equação de equilíbrio:
E como
:
Passo 9
Para encontrar
, precisamos considerar que a tensão na seção AC também é:
Como
é a mesma nas duas seções:
Simplificando:
Para equilíbrio, a força
deve igualar a força
:
Isso nos indica que há uma inconsistência, então vamos corrigir.
Passo 10
Na verdade, a força total na parte AC deve suportar a força
. Então:
E como
:
E
:
Isso implica que:
Portanto, a relação correta é que:
O que só é possível se
, o que não faz sentido. Então, devemos reconsiderar a abordagem.
Passo 11
Vamos pensar que a deformação na seção AC deve ser igual à deformação na seção CD para que
não se mova. A deformação é dada por:
Então:
Isso implica que:
O que sugere que os comprimentos são iguais para deformação igual, mas como não temos os comprimentos, vamos simplificar.
Passo 12
Para evitar confusão, vamos utilizar a relação de compatibilidade de deformações e equilíbrio de forças diretamente.
A carga
aplicada em
causa uma força na seção AC igual a
e uma força na seção CD igual a
, onde
é a força na seção menor. Como as deformações devem ser iguais:
Simplificando:
Para que o ponto
não se mova, a força
deve ser igual a
:
Isso novamente não faz sentido. Parece que precisamos revisar a abordagem.
Passo 13
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos utilizar a relação correta entre as forças e áreas para manter o ponto
estático.
Como a área da seção AC é quatro vezes a área da seção CD (900π vs 225π), a força
na seção AC será dividida proporcionalmente entre as seções AC e CD. Para que
não se mova, a carga na seção CD deve balancear a carga
.
Então, a força na seção CD deve ser igual a
:
Mas como as áreas são relacionadas, temos:
Ainda não resolve. A abordagem correta seria considerar que a carga
provoca uma tensão que causa deformação na barra, e para que
não se mova, a deformação na seção AC deve igualar a deformação na seção CD.
Passo 14
Utilizando a relação de deformações iguais:
Como
, temos:
O que simplifica para:
Isso não é verdadeiro, indicando novamente a necessidade de revisão.
Passo 15
Vamos simplificar a solução considerando que a carga
aplicada em
é compartilhada pelas duas seções AC e CD proporcionalmente às suas áreas.
A relação de forças é inversamente proporcional às áreas:
Então:
Para que o ponto
não se mova, a força
deve ser igual a
:
Infelizmente, essa abordagem também leva a uma inconsistência, indicando que a carga
não pode ser sustentada sem movimento de
.
Resposta
Após analisar as relações entre as áreas das seções e as forças aplicadas, concluímos que não é possível aplicar uma carga
em
que mantenha o ponto
estático sem que
. Portanto:
a) O valor da carga
é
N para que o ponto
não se mova.
b) Com
N, o deslocamento do ponto
em relação a
também é
mm.
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e