Considere a barra de aço ABC de seções transversais circulares AC ( 60 mm de diâmetro) e CD ( 30 mm de diâmetro). Calcule (a) o valor da carga P aplicada em B de modo que o ponto D não se mova, (b) o correspondente deslocamento do ponto B em relação a A. Dados: E aço =200 GPaç

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de aço chamada ABC, que tem duas seções transversais diferentes: uma com diâmetro de 60 mm (seção AC) e outra com diâmetro de 30 mm (seção CD). Precisamos descobrir duas coisas:
a) Quanto de carga é necessário aplicar no ponto para que o ponto não se mova.
b) Qual será o deslocamento do ponto em relação ao ponto .
Vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças, e de deformação axial, usando a fórmula da deformação em materiais. Também vamos usar a fórmula da área de um círculo para calcular as áreas das seções transversais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para o ponto não se mover, a força aplicada deve ser equilibrada pelas forças internas na barra. Isso significa que a força na seção AC deve igualar a força na seção CD.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas seções para relacionar as forças. A área de uma seção circular é dada por:
A = pi d^24
onde é o diâmetro.

Passo 4

Calculando a área da seção AC (60 mm de diâmetro):
AAC = pi (60)^24 = pi times 36004 = 900pi , mm^2
E a área da seção CD (30 mm de diâmetro):
ACD = pi (30)^24 = pi times 9004 = 225pi , mm^2

Passo 5

Agora, como a força na seção AC deve igualar a força na seção CD para que o ponto D não se mova, podemos escrever:
P = FCD
Sabemos que a força é igual à pressão (carga por unidade de área) vezes a área:
F = sigma times A
Como estamos equilibrando as forças:
P = sigma times ACD

Passo 6

A tensão epsilon = sigmaE na seção AC pode ser relacionada com a seção CD através da deformação. Para que não se mova, a deformação na seção AC deve ser igual à deformação na seção CD. A deformação é dada por:
onde é o módulo de elasticidade do aço, dado como .

Passo 7

Igualando as deformações:
sigmaACE = sigmaCDE
Isso simplifica para:
sigmaAC = sigmaCD
Portanto, a tensão nas duas seções é a mesma.

Passo 8

Substituindo P = sigma times ACD = sigma times 225pi na equação de equilíbrio:
sigma = P225pi
E como :

Passo 9

Para encontrar sigma = FACAAC = FAC900pi , precisamos considerar que a tensão na seção AC também é:
P225pi = FAC900pi
Como FAC = 900pi225pi P = 4P é a mesma nas duas seções:
4P = P
Simplificando:
Para equilíbrio, a força deve igualar a força :
Isso nos indica que há uma inconsistência, então vamos corrigir.

Passo 10

Na verdade, a força total na parte AC deve suportar a força FAC = P . Então:
P = sigma times 900pi
E como sigma = P900pi = P225pi :
P900pi = P225pi
E P = 4P :
Isso implica que:
Portanto, a relação correta é que:
O que só é possível se , o que não faz sentido. Então, devemos reconsiderar a abordagem.

Passo 11

Vamos pensar que a deformação na seção AC deve ser igual à deformação na seção CD para que epsilon = de não se mova. A deformação é dada por:
de
Então:
de
Isso implica que:
O que sugere que os comprimentos são iguais para deformação igual, mas como não temos os comprimentos, vamos simplificar.

Passo 12

Para evitar confusão, vamos utilizar a relação de compatibilidade de deformações e equilíbrio de forças diretamente.
A carga PAAC E = QACD E aplicada em P900pi = Q225pi Rightarrow Q = 225pi900pi P = 14 P causa uma força na seção AC igual a 14 P = P Rightarrow P = 0 e uma força na seção CD igual a , onde é a força na seção menor. Como as deformações devem ser iguais:
Simplificando:
Para que o ponto não se mova, a força deve ser igual a :
Isso novamente não faz sentido. Parece que precisamos revisar a abordagem.

Passo 13

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos utilizar a relação correta entre as forças e áreas para manter o ponto Q = P estático.
Como a área da seção AC é quatro vezes a área da seção CD (900π vs 225π), a força QACD = PAAC Rightarrow P225pi = P900pi Rightarrow P = P na seção AC será dividida proporcionalmente entre as seções AC e CD. Para que não se mova, a carga na seção CD deve balancear a carga .
Então, a força na seção CD deve ser igual a :
Mas como as áreas são relacionadas, temos:
Ainda não resolve. A abordagem correta seria considerar que a carga provoca uma tensão que causa deformação na barra, e para que não se mova, a deformação na seção AC deve igualar a deformação na seção CD.

Passo 14

Utilizando a relação de deformações iguais:
PAAC E = QACD E
Como P900pi times 200 times 10^3 = P225pi times 200 times 10^3 , temos:
1900pi = 1225pi
O que simplifica para:
Isso não é verdadeiro, indicando novamente a necessidade de revisão.

Passo 15

Vamos simplificar a solução considerando que a carga FACFCD = ACDAAC = 225pi900pi = 14 aplicada em FAC = 14 P e FCD = 34 P é compartilhada pelas duas seções AC e CD proporcionalmente às suas áreas.
A relação de forças é inversamente proporcional às áreas:
34 P = P Rightarrow P = 0
Então:
Para que o ponto não se mova, a força deve ser igual a :
Infelizmente, essa abordagem também leva a uma inconsistência, indicando que a carga não pode ser sustentada sem movimento de .

Resposta

Após analisar as relações entre as áreas das seções e as forças aplicadas, concluímos que não é possível aplicar uma carga em que mantenha o ponto estático sem que . Portanto:
a) O valor da carga é N para que o ponto não se mova.
b) Com N, o deslocamento do ponto em relação a também é mm.

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