Considere uma barra de alumínio, com 20 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de . Suponha que no instante a extremidade é esfriada a , enquanto a extremidade 20 é aquecida a , e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.
(a) Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de alumínio com 20 cm de comprimento, inicialmente toda a 25°C. No tempo zero, a gente esfriou uma extremidade para 0°C e aqueceu a outra para 60°C, mantendo essas temperaturas. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura está distribuída ao longo da barra em qualquer instante .
Para resolver isso, vamos usar o equação do calor, que descreve como o calor se propaga em materiais. Vamos precisar aplicar técnicas de solução de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer a equação do calor para essa situação. A equação geral é:
Aqui, representa a temperatura na posição e tempo , e é a difusividade térmica do alumínio.

Passo 3

As condições iniciais e de contorno são essenciais. Inicialmente, toda a barra está a 25°C:
As condições de contorno são:

Passo 4

Para simplificar, vamos subtrair a condição de equilíbrio para transformar a equação do calor em uma forma mais fácil de resolver. Vamos definir:
Assim, a equação do calor fica:
E as condições de contorno se tornam:

Passo 5

Agora, vamos buscar uma solução para usando a separação de variáveis. Assumimos que pode ser escrito como o produto de duas funções, uma dependente de e outra de :
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 6

Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
Solucionando esta equação, temos:
  1. Para :
A solução geral dessa equação é:

Passo 7

Aplicando as condições de contorno e , podemos determinar as constantes e . Isso nos leva a uma série de Fourier, onde somamos todas as soluções possíveis para satisfazer as condições iniciais e de contorno.
Portanto, a solução geral será uma série infinita da forma:
Onde cm e são os coeficientes obtidos a partir das condições iniciais.

Passo 8

Finalmente, somando a solução com a condição de equilíbrio que subtraímos no começo, obtemos a distribuição de temperatura :
Os coeficientes são determinados pelas condições iniciais e representariam a contribuição de cada modo de temperatura na barra ao longo do tempo.

Resposta

A distribuição de temperatura na barra para qualquer instante é dada por:
Onde são coeficientes determinados pelas condições iniciais e é a difusividade térmica do alumínio.

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