(a) Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
, que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução
da equação de Laplace dentro de um retângulo definido por
e
. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos, como em eletrostática e em fluxo de calor. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Precisamos considerar as condições de contorno dadas:
-
e para os lados verticais do retângulo. -
na base. -
no topo.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Isso é a essência do método de separação de variáveis.
Passo 3
Substituindo essa forma na equação de Laplace, que é:
Obtemos:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso significa que cada termo depende de uma variável diferente, então cada um deve ser igual a uma constante negativa, digamos
.
Passo 4
Assim, temos duas equações:
Vamos resolver cada uma delas separadamente. Começando por
:
E para
:
Passo 5
As soluções dessas equações dependem do valor de
. Para que
e
sejam satisfeitas (condições de contorno nos lados verticais), a constante
deve ser positiva, permitindo soluções senoidais. Então, podemos escrever:
E as soluções para
são:
Passo 6
Agora, resolvemos para
com
:
A solução geral dessa equação é:
Mas, como
, temos que
, o que implica que
. Então:
Passo 7
Então, a solução geral para cada modo
é:
A solução completa será uma soma de todos esses modos:
Passo 8
Para determinar os coeficientes
, usamos a condição de contorno no topo do retângulo
:
Isso é uma expansão em série de Fourier. Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
:
Resposta
A solução
da equação de Laplace no retângulo dado é: