(a) Encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , que satisfaz as condições de contorno

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação de Laplace dentro de um retângulo definido por e . A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos, como em eletrostática e em fluxo de calor. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Precisamos considerar as condições de contorno dadas:
  • e para os lados verticais do retângulo.
  • na base.
  • no topo.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Isso é a essência do método de separação de variáveis.

Passo 3

Substituindo essa forma na equação de Laplace, que é:
Obtemos:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso significa que cada termo depende de uma variável diferente, então cada um deve ser igual a uma constante negativa, digamos .

Passo 4

Assim, temos duas equações:
Vamos resolver cada uma delas separadamente. Começando por :
E para :

Passo 5

As soluções dessas equações dependem do valor de . Para que e sejam satisfeitas (condições de contorno nos lados verticais), a constante deve ser positiva, permitindo soluções senoidais. Então, podemos escrever:
E as soluções para são:

Passo 6

Agora, resolvemos para com :
A solução geral dessa equação é:
Mas, como , temos que , o que implica que . Então:

Passo 7

Então, a solução geral para cada modo é:
A solução completa será uma soma de todos esses modos:

Passo 8

Para determinar os coeficientes , usamos a condição de contorno no topo do retângulo :
Isso é uma expansão em série de Fourier. Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :

Resposta

A solução da equação de Laplace no retângulo dado é:

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(a) Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante .
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(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial dada.
Prove que .