(a) Encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , que satisfaz as condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução da equação de Laplace dentro de um retângulo definido por e . A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos, como em eletrostática e em fluxo de calor. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Precisamos considerar as condições de contorno dadas:
e para os lados verticais do retângulo.
na base.
no topo.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Isso é a essência do método de separação de variáveis.
Passo 3
Substituindo essa forma na equação de Laplace, que é:
Obtemos:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso significa que cada termo depende de uma variável diferente, então cada um deve ser igual a uma constante negativa, digamos .
Passo 4
Assim, temos duas equações:
Vamos resolver cada uma delas separadamente. Começando por :
E para :
Passo 5
As soluções dessas equações dependem do valor de . Para que e sejam satisfeitas (condições de contorno nos lados verticais), a constante deve ser positiva, permitindo soluções senoidais. Então, podemos escrever:
E as soluções para são:
Passo 6
Agora, resolvemos para com :
A solução geral dessa equação é:
Mas, como , temos que , o que implica que . Então:
Passo 7
Então, a solução geral para cada modo é:
A solução completa será uma soma de todos esses modos:
Passo 8
Para determinar os coeficientes , usamos a condição de contorno no topo do retângulo :
Isso é uma expansão em série de Fourier. Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :
Resposta
A solução da equação de Laplace no retângulo dado é: