Considere a cardioide de equação polar r=2+2 cos theta, esboçada na figura abaixo, e a reta L de equação cartesiana y=x,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla integral duplaR yraizx^2+y^2 d A, sendo R a região do primeiro quadrante situada acima da reta L e dentro da cardioide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cardioide com a equação polar e uma reta . Nosso objetivo é calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante, acima da reta e dentro da cardioide. Vamos utilizar coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar: yraizx^2+y^2 = r sin thetar = sin theta . Em coordenadas polares, sabemos que integral duplaR sin theta , dA e . Assim, . Então, a função se simplifica para:
Então, a integral vira:

Passo 3

Em coordenadas polares, o elemento de área integral duplaR sin theta cdot r , dr , dtheta é . Portanto, a integral passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . A região está no primeiro quadrante ( ) e acima da reta . Em coordenadas polares, a reta corresponde a .
Além disso, a região está dentro da cardioide . Portanto, para entre e , varia de 0 até .

Passo 5

Com os limites definidos, nossa integral fica:
integraltheta = pi4^pi2 integralr = 0^2 + 2 cos theta sin theta cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em relação a primeiro.

Passo 6

Integrando em relação a integral0^2 + 2 cos theta sin theta cdot r , dr = sin theta cdot [ r^22 ]0^2 + 2 cos theta = sin theta cdot (2 + 2 cos theta)^22 :

Passo 7

Expandindo (2 + 2 cos theta)^2 = 4 + 8 cos theta + 4 cos^2 theta :
sin theta cdot 4 + 8 cos theta + 4 cos^2 theta2 = sin theta (2 + 4 cos theta + 2 cos^2 theta)
Então, temos:

Passo 8

Agora, nossa integral em relação a integralpi4^pi2 ( 2 sin theta + 4 sin theta cos theta + 2 sin theta cos^2 theta ) dtheta fica:
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando termo a termo:
  1. (usando a substituição )

Passo 10

Aplicando os limites de a :

Passo 11

Somando todos os resultados:
raiz2 + 1 + raiz23 = 1 + 4raiz23

Resposta

A integral dupla vale .

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