Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla , sendo a região do primeiro quadrante situada acima da reta e dentro da cardioide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cardioide com a equação polar e uma reta . Nosso objetivo é calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante, acima da reta e dentro da cardioide. Vamos utilizar coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar: . Em coordenadas polares, sabemos que e . Assim, . Então, a função se simplifica para:
Então, a integral vira:

Passo 3

Em coordenadas polares, o elemento de área é . Portanto, a integral passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . A região está no primeiro quadrante ( ) e acima da reta . Em coordenadas polares, a reta corresponde a .
Além disso, a região está dentro da cardioide . Portanto, para entre e , varia de 0 até .

Passo 5

Com os limites definidos, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a primeiro.

Passo 6

Integrando em relação a :

Passo 7

Expandindo :
Então, temos:

Passo 8

Agora, nossa integral em relação a fica:
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando termo a termo:
  1. (usando a substituição )

Passo 10

Aplicando os limites de a :

Passo 11

Somando todos os resultados:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações e e das retas de equações e . Também estão indicadas as regiões e que se tocam no ponto .
Calcule a integral . (Sugestão: use .)
Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Obtenha a equação em coordenadas polares da reta e as coordenadas polares do ponto do do primeiro quadrante em que encontra a cardioide.
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de para todo . Em cada um dos Problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura se a distribuição de temperatura inicial na barra é a função dada. Suponha que .
Considere uma barra de alumínio, com 20 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de . Suponha que no instante a extremidade é esfriada a , enquanto a extremidade 20 é aquecida a , e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.
(a) Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante .