Considere a cardioide de equação polar , esboçada na figura abaixo, e a reta de equação cartesiana ,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla , sendo a região do primeiro quadrante situada acima da reta e dentro da cardioide.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cardioide com a equação polar e uma reta . Nosso objetivo é calcular a integral dupla , onde a região está no primeiro quadrante, acima da reta e dentro da cardioide. Vamos utilizar coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar: . Em coordenadas polares, sabemos que e . Assim, . Então, a função se simplifica para:
Então, a integral vira:
Passo 3
Em coordenadas polares, o elemento de área é . Portanto, a integral passa a ser:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para e . A região está no primeiro quadrante () e acima da reta . Em coordenadas polares, a reta corresponde a .
Além disso, a região está dentro da cardioide . Portanto, para entre e , varia de 0 até .