Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com velocidade inicial u_i(x, 0) = g(x). Em cada um dos Problemas de 5 a 8 faça os passos descritos a seguir. Considere L=10 e a=1 nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento u(x, t) para a função g(x) dada.
g(x) = { 4x / L, 0 <= x <= L / 4, 1, L / 4 < x < 3L / 4, 4(L - x) / L, 3L / 4 <= x <= L }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o deslocamento de uma corda elástica que está vibrando. A corda tem comprimento e está fixa nas extremidades. A matéria que vamos usar aqui é de Ondulatória, especificamente sobre ondas estacionárias em cordas. Para resolver, vamos precisar aplicar a teoria das séries de Fourier para representar a função inicial de deslocamento .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição inicial da corda. A função nos dá como a corda está deslocada no tempo . A função é definida por partes:
Isso significa que a corda tem um formato triangular nas extremidades e é plana no meio.

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a solução geral para ondas estacionárias em uma corda fixa nas extremidades:
Aqui, é a velocidade da onda na corda, e , são os coeficientes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Como a corda parte do repouso com deslocamento inicial , temos que a velocidade inicial é zero. Isso simplifica a expressão, pois todos os serão zero. Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . Eles são determinados pela expansão de em uma série de senos de Fourier:
Vamos calcular essa integral para a função dada.

Passo 6

Dividimos a integral de acordo com as partes de :
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Após resolver as integrais (que envolvem técnicas de integração por partes), encontramos os coeficientes . O cálculo detalhado dessas integrais pode ser um pouco trabalhoso, mas essencialmente, obteremos uma expressão para em termos de que caracteriza como cada modo de vibração contribui para o deslocamento total.

Passo 8

Com os coeficientes determinados, substituímos de volta na expressão da solução:
Essa é a expressão geral para o deslocamento da corda em qualquer instante .

Resposta

O deslocamento da corda elástica é dado por:
onde os coeficientes são calculados a partir da expansão em série de Fourier da função .

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