Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de para todo . Em cada um dos Problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura se a distribuição de temperatura inicial na barra é a função dada. Suponha que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor numa barra de 40 cm. A barra tem as extremidades mantidas a o tempo todo, e a temperatura inicial na barra varia de para . A gente precisa encontrar uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra e em qualquer instante de tempo . Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e técnicas de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor numa barra. Ela é dada por:
Aqui, , então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial parcial que relaciona a variação da temperatura no tempo com a variação no espaço.

Passo 3

As condições de contorno são que as extremidades da barra estão sempre a , ou seja:
Além disso, a condição inicial é:
Vamos resolver essa equação usando a técnica de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de .

Passo 4

Vamos supor que:
Substituindo isso na equação da condução de calor, temos:
Dividindo ambos os lados por , chegamos a:
Onde é uma constante de separação.

Passo 5

Agora, temos duas equações separadas:
Para :
A solução dessa equação é:
Para :
Isso é uma equação diferencial ordinária cujo conjunto de soluções depende do valor de .

Passo 6

Considerando as condições de contorno e , buscamos soluções não triviais para . Isso sucede quando , onde é um número inteiro positivo.
Assim, as soluções para são:
E as soluções para são:

Passo 7

Portanto, cada modo de vibração da barra é dado por:
Onde são os coeficientes a serem determinados a partir da condição inicial.

Passo 8

A solução geral é a soma de todos esses modos:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes que satisfazem a condição inicial .

Passo 9

Substituindo na solução geral, temos:
Para encontrar os , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções ímpares no intervalo dado.

Passo 10

Calculando os coeficientes :
Resolvendo essa integral por partes, obtemos:
Após simplificações, encontramos:

Resposta

A expressão para a temperatura na barra é dada por:

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