Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de
para todo
. Em cada um dos Problemas de 9 a 12, encontre uma expressão para a temperatura
se a distribuição de temperatura inicial na barra é a função dada. Suponha que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor numa barra de 40 cm. A barra tem as extremidades mantidas a
o tempo todo, e a temperatura inicial na barra varia de
para
. A gente precisa encontrar uma expressão para a temperatura
em qualquer ponto da barra e em qualquer instante de tempo
. Para isso, vamos usar a equação da condução de calor e técnicas de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor numa barra. Ela é dada por:
Aqui,
, então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial parcial que relaciona a variação da temperatura no tempo com a variação no espaço.
Passo 3
As condições de contorno são que as extremidades da barra estão sempre a
, ou seja:
Além disso, a condição inicial é:
Vamos resolver essa equação usando a técnica de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
.
Passo 4
Vamos supor que:
Substituindo isso na equação da condução de calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
, chegamos a:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações separadas:
Para
:
A solução dessa equação é:
Para
:
Isso é uma equação diferencial ordinária cujo conjunto de soluções depende do valor de
.
Passo 6
Considerando as condições de contorno
e
, buscamos soluções não triviais para
. Isso sucede quando
, onde
é um número inteiro positivo.
Assim, as soluções para
são:
E as soluções para
são:
Passo 7
Portanto, cada modo de vibração da barra é dado por:
Onde
são os coeficientes a serem determinados a partir da condição inicial.
Passo 8
A solução geral é a soma de todos esses modos:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
que satisfazem a condição inicial
.
Passo 9
Substituindo
na solução geral, temos:
Para encontrar os
, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções ímpares no intervalo dado.
Passo 10
Calculando os coeficientes
:
Resolvendo essa integral por partes, obtemos:
Após simplificações, encontramos:
Resposta
A expressão para a temperatura
na barra é dada por:
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, esboçada na figura abaixo, e a reta
de equação cartesiana
,
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla , sendo
a região do primeiro quadrante situada acima da reta
e dentro da cardioide.
Calcule, utilizando coordenadas polares, a integral dupla
A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações
e
e das retas de equações
e
. Também estão indicadas as regiões
e
que se tocam no ponto
.
Calcule a integral . (Sugestão: use
.)
Calcule a integral
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(a) Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante
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(a) Encontre o deslocamento