Considere uma barra de comprimento L= 20,0 cm e de massa M=300 g pendurada pela sua extremidade. O ângulo com a vertical para baixo a um dado instante t é theta. Desconsidere forças dissipativas. O movimento começa em t=0 com theta=0,005 rad e d theta / d t= -0,030 rad / s. Use a aproximação de pequenas amplitudes. (a) Qual é o período de oscilação? (b) Qual é a amplitude de oscilação? © Qual é a energia mecânica do sistema? (d) Qual é a constante de fase da solução theta(t) propto cos (omega t+varphi0)? (e) Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um pêndulo simples, que é basicamente uma barra de comprimento (ou seja, ) e massa (ou seja, ) pendurada pela sua extremidade. O pêndulo está oscilando com um ângulo pequeno em relação à vertical. A ideia é usar as equações do movimento harmônico simples, já que estamos considerando pequenas amplitudes. Para resolver esse exercício, vamos precisar das fórmulas do período de um pêndulo simples, das equações de energia no movimento harmônico e das relações básicas da cinemática.

Passo 2

Parte (a): Qual é o período de oscilação?
Para encontrar o período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples com pequenas amplitudes, usamos a fórmula:
T = 2pi raiz0,209,81 approx 2pi raiz0,02039 approx 2pi times 0,1428 approx 0,897 s
Onde:
  • é o comprimento do pêndulo.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Vamos calcular:

Passo 3

Parte (b): Qual é a amplitude de oscilação?
A amplitude de oscilação theta(0) = 0,005 rad pode ser determinada a partir das condições iniciais. Sabemos que no instante dthetadt |t=0 = -0,030 rad/s :
theta(t) = thetaampl cos(omega t + varphi0)
dthetadt = -thetaampl omega sin(omega t + varphi0)
No movimento harmônico simples, a solução geral é:
theta(0) = thetaampl cos(varphi0) = 0,005
Onde dthetadtg|t=0 = -thetaampl omega sin(varphi0) = -0,030 .
Derivando em relação ao tempo:
tan(varphi0) = dthetadt|t=0theta(0) omega = -0,0300,005 times raiz9,810,20 approx -0,0300,005 times 7 approx -0,0300,035 approx -0,857
Aplicando as condições iniciais:
varphi0 approx arctan(-0,857) approx -0,71 rad
thetaampl = 0,005cos(-0,71) approx 0,0050,764 approx 0,00654 rad
Dividindo as duas equações para eliminar :
Calculando :
Agora, usando a primeira equação para encontrar :

Passo 4

Parte ©: Qual é a energia mecânica do sistema?
A energia mecânica E = 12 M g L thetaampl^2 de um pêndulo simples na aproximação de pequenas amplitudes é constante e dada por:
E = 12 times 0,3 times 9,81 times 0,20 times (0,00654)^2
Substituindo os valores:
E = 0,15 times 9,81 times 0,20 times 0,0000428 approx 0,15 times 9,81 times 0,20 times 0,0000428 approx 0,0000126 J

Passo 5

Parte (d): Qual é a constante de fase da solução varphi0 approx -0,71 rad ?
Já calculamos a constante de fase na parte (b). Foi:

Passo 6

Parte (e): Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?
O período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples depende apenas do comprimento L' = g T^24pi^2 e da aceleração da gravidade L' = 9,81 times (0,897)^24pi^2 approx 9,81 times 0,80439,478 approx 7,89539,478 approx 0,200 m :
Se queremos manter o mesmo período com a mesma massa, qualquer comprimento que mantiver essa relação funcionará. Porém, como já está definido e queremos encontrar um novo que mantenha constante:
Usando :
Ou seja, o comprimento permanece o mesmo, .

Resposta

(a) O período de oscilação é aproximadamente .
(b) A amplitude de oscilação é aproximadamente .
© A energia mecânica do sistema é aproximadamente .
(d) A constante de fase é aproximadamente .
(e) O comprimento do pêndulo que oscilaria com o mesmo período permanece .

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