Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um pêndulo simples, que é basicamente uma barra de comprimento (ou seja, ) e massa (ou seja, ) pendurada pela sua extremidade. O pêndulo está oscilando com um ângulo pequeno em relação à vertical. A ideia é usar as equações do movimento harmônico simples, já que estamos considerando pequenas amplitudes. Para resolver esse exercício, vamos precisar das fórmulas do período de um pêndulo simples, das equações de energia no movimento harmônico e das relações básicas da cinemática.
Passo 2
Parte (a): Qual é o período de oscilação?
Para encontrar o período de um pêndulo simples com pequenas amplitudes, usamos a fórmula:
Onde:
é o comprimento do pêndulo.
é a aceleração da gravidade ().
Vamos calcular:
Passo 3
Parte (b): Qual é a amplitude de oscilação?
A amplitude de oscilação pode ser determinada a partir das condições iniciais. Sabemos que no instante :
No movimento harmônico simples, a solução geral é:
theta(0) = thetaampl cos(varphi0) = 0,005
Onde dthetadtg|t=0 = -thetaampl omega sin(varphi0) = -0,030 .
Derivando em relação ao tempo:
tan(varphi0) = dthetadt|t=0theta(0) omega = -0,0300,005 times raiz9,810,20 approx -0,0300,005 times 7 approx -0,0300,035 approx -0,857
Aplicando as condições iniciais:
varphi0 approx arctan(-0,857) approx -0,71 rad
thetaampl = 0,005cos(-0,71) approx 0,0050,764 approx 0,00654 rad
A energia mecânica E = 12 M g L thetaampl^2 de um pêndulo simples na aproximação de pequenas amplitudes é constante e dada por:
E = 12 times 0,3 times 9,81 times 0,20 times (0,00654)^2
Substituindo os valores:
E = 0,15 times 9,81 times 0,20 times 0,0000428 approx 0,15 times 9,81 times 0,20 times 0,0000428 approx 0,0000126 J
Passo 5
Parte (d): Qual é a constante de fase da solução varphi0 approx -0,71 rad ?
Já calculamos a constante de fase na parte (b). Foi:
Passo 6
Parte (e): Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?
O período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples depende apenas do comprimento L' = g T^24pi^2 e da aceleração da gravidade L' = 9,81 times (0,897)^24pi^2 approx 9,81 times 0,80439,478 approx 7,89539,478 approx 0,200 m :
Se queremos manter o mesmo período com a mesma massa, qualquer comprimento que mantiver essa relação funcionará. Porém, como já está definido e queremos encontrar um novo que mantenha constante: