Considere uma barra de comprimento e de massa pendurada pela sua extremidade. ângulo com a vertical para baixo a um dado instante é . Desconsidere forças dissipativas. O movimento começa em e . Use a aproximação de pequenas amplitudes. (a) Qual é o período de oscilação? (b) Qual é a amplitude de oscilação? © Qual é a energia mecânica do sistema? (d) Qual é a constante de fase da solução ? (e) Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um pêndulo simples, que é basicamente uma barra de comprimento (ou seja, ) e massa (ou seja, ) pendurada pela sua extremidade. O pêndulo está oscilando com um ângulo pequeno em relação à vertical. A ideia é usar as equações do movimento harmônico simples, já que estamos considerando pequenas amplitudes. Para resolver esse exercício, vamos precisar das fórmulas do período de um pêndulo simples, das equações de energia no movimento harmônico e das relações básicas da cinemática.

Passo 2

Parte (a): Qual é o período de oscilação?
Para encontrar o período de um pêndulo simples com pequenas amplitudes, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o comprimento do pêndulo.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Vamos calcular:

Passo 3

Parte (b): Qual é a amplitude de oscilação?
A amplitude de oscilação pode ser determinada a partir das condições iniciais. Sabemos que no instante :
No movimento harmônico simples, a solução geral é:
Onde .
Derivando em relação ao tempo:
Aplicando as condições iniciais:
Dividindo as duas equações para eliminar :
Calculando :
Agora, usando a primeira equação para encontrar :

Passo 4

Parte ©: Qual é a energia mecânica do sistema?
A energia mecânica de um pêndulo simples na aproximação de pequenas amplitudes é constante e dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Parte (d): Qual é a constante de fase da solução ?
Já calculamos a constante de fase na parte (b). Foi:

Passo 6

Parte (e): Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?
O período de um pêndulo simples depende apenas do comprimento e da aceleração da gravidade :
Se queremos manter o mesmo período com a mesma massa, qualquer comprimento que mantiver essa relação funcionará. Porém, como já está definido e queremos encontrar um novo que mantenha constante:
Usando :
Ou seja, o comprimento permanece o mesmo, .

Resposta

(a) O período de oscilação é aproximadamente .
(b) A amplitude de oscilação é aproximadamente .
© A energia mecânica do sistema é aproximadamente .
(d) A constante de fase é aproximadamente .
(e) O comprimento do pêndulo que oscilaria com o mesmo período permanece .

Exercícios relacionados

Qustã̃: Uma casca esférica, uniforme, de massa igual a 1.000 kg porsaui raio de 5 m . Calcule a forrea gravitacional que essa casca seerce sobere una massa pontual de ablucada mas rerguintos distâncias do centro da casca: (i) i (ii) ; (iii) . Em cada caso, explique use trorema das cascas. Dado constante gravitacional: .
Duas ambulâncias com as sirenes ligadas movem-se a em sentidos opostos na mesma estrada reta. (a) Quando elas se aproximam, por qual fator a frequência da sirene de uma ambulância deve ser multiplicada para determinar-se a frequência escutada pelos passageiros da outra ambulância? (b) Quando elas se afastam, qual é o fator correspondente?
Duas caixas de som com mesma potência distantes 20 m emitem um som em todas as direções com frequência igual a 343 Hz em fase. Este problema trata do som nos pontos em cima do eixo que passa pelas duas caixas, com a primeira em e a segunda em . Os deslocamentos do ar devido à caixa da esquerda e à da direita são dados, no S.I., por:
e
(a) No ponto , qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto? (b) No ponto , qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto?
Estudos mostram que o ruído aleatório de uma cafeteria, que tipicamente tem nível sonoro de 70 dB, auxilia na concentração quando comparado com um ambiente mais quieto ou mais barulhento. Considere a frequência típica como 175 Hz. (a) Qual é a amplitude do deslocamento? (b) Qual é a amplitude de pressão? © Qual é a amplitude de densidade?