Duas caixas de som com mesma potência distantes 20 m emitem um som em todas as direções com frequência igual a 343 Hz em fase. Este problema trata do som nos pontos em cima do eixo que passa pelas duas caixas, com a primeira em e a segunda em . Os deslocamentos do ar devido à caixa da esquerda e à da direita são dados, no S.I., por:
e
(a) No ponto , qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto? (b) No ponto , qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas caixas de som que estão separadas por 20 metros, uma em m e a outra em m. Ambas emitem som com a mesma potência e frequência de 343 Hz, e estão em fase. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento resultante e a intensidade do som em dois pontos específicos: m e m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e intensidade sonora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas dos deslocamentos das ondas sonoras emitidas por cada caixa. As funções dadas são:
Aqui, é a amplitude inicial da onda, é a posição ao longo do eixo e é o tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que é no ponto m.
Substituindo nas equações:
Observamos que , então:

Passo 4

Agora, somamos os deslocamentos das duas ondas para obter o deslocamento resultante:
Portanto, no ponto m, o deslocamento resultante é zero. Isso significa que, nesse ponto, as ondas se cancelam completamente.

Passo 5

Como o deslocamento resultante é zero, a intensidade do som também será zero nesse ponto. A intensidade do som está relacionada ao quadrado da amplitude do deslocamento ( ). Se o deslocamento é zero, a intensidade também é zero, indicando que não há som audível nesse ponto devido ao cancelamento das ondas.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), no ponto m.
Substituindo m nas equações:

Passo 7

Vamos simplificar as expressões:

Passo 8

Para encontrar o deslocamento total, somamos e :
Neste ponto, precisamos considerar que as ondas não estão exatamente em fase devido à pequena diferença na distância, então não haverá cancelamento completo.

Passo 9

Para simplificar, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Sabemos que e , então simplificando:

Passo 10

Calculando os coeficientes:
Portanto:

Passo 11

Agora, para encontrar a intensidade do som, usamos a relação . A intensidade resultante será proporcional ao quadrado da amplitude total:
Comparando com a intensidade individual das caixas, percebemos que a intensidade no ponto m é aproximadamente 4% da intensidade de uma única fonte.

Resposta

(a) No ponto m, o deslocamento resultante é zero, e a intensidade sonora é nula.
(b) No ponto m, o deslocamento resultante é aproximadamente , e a intensidade sonora é cerca de 4% da intensidade de uma única caixa.

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