Duas caixas de som com mesma potência distantes 20 m emitem um som em todas as direções com frequência igual a 343 Hz em fase. Este problema trata do som nos pontos em cima do eixo que passa pelas duas caixas, com a primeira em
e a segunda em
. Os deslocamentos do ar devido à caixa da esquerda e à da direita são dados, no S.I., por:
e
(a) No ponto
, qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto? (b) No ponto
, qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas caixas de som que estão separadas por 20 metros, uma em
m e a outra em
m. Ambas emitem som com a mesma potência e frequência de 343 Hz, e estão em fase. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento resultante e a intensidade do som em dois pontos específicos:
m e
m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e intensidade sonora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas dos deslocamentos das ondas sonoras emitidas por cada caixa. As funções dadas são:
Aqui,
é a amplitude inicial da onda,
é a posição ao longo do eixo e
é o tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que é no ponto
m.
Substituindo
nas equações:
Observamos que
, então:
Passo 4
Agora, somamos os deslocamentos das duas ondas para obter o deslocamento resultante:
Portanto, no ponto
m, o deslocamento resultante é zero. Isso significa que, nesse ponto, as ondas se cancelam completamente.
Passo 5
Como o deslocamento resultante é zero, a intensidade do som também será zero nesse ponto. A intensidade do som está relacionada ao quadrado da amplitude do deslocamento (
). Se o deslocamento é zero, a intensidade também é zero, indicando que não há som audível nesse ponto devido ao cancelamento das ondas.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), no ponto
m.
Substituindo
m nas equações:
Passo 7
Vamos simplificar as expressões:
Passo 8
Para encontrar o deslocamento total, somamos
e
:
Neste ponto, precisamos considerar que as ondas não estão exatamente em fase devido à pequena diferença na distância, então não haverá cancelamento completo.
Passo 9
Para simplificar, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Sabemos que
e
, então simplificando:
Passo 10
Calculando os coeficientes:
Portanto:
Passo 11
Agora, para encontrar a intensidade do som, usamos a relação
. A intensidade resultante será proporcional ao quadrado da amplitude total:
Comparando com a intensidade individual das caixas, percebemos que a intensidade no ponto
m é aproximadamente 4% da intensidade de uma única fonte.
Resposta
(a) No ponto
m, o deslocamento resultante é zero, e a intensidade sonora é nula.
(b) No ponto
m, o deslocamento resultante é aproximadamente
, e a intensidade sonora é cerca de 4% da intensidade de uma única caixa.