Duas caixas de som com mesma potência distantes 20 m emitem um som em todas as direções com frequência igual a 343 Hz em fase. Este problema trata do som nos pontos em cima do eixo que passa pelas duas caixas, com a primeira em x=-10 m e a segunda em x=10 m. Os deslocamentos do ar devido à caixa da esquerda e à da direita são dados, no S.I., por:
uE(x, t)=A|x+10| cos (2 pi(x-343 t))
e
uD(x, t)=-A|x-10| cos (2 pi(x+343 t))
(a) No ponto x=0, qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto? (b) No ponto x=0,25 m, qual é o deslocamento resultante? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas caixas de som que estão separadas por 20 metros, uma em m e a outra em m. Ambas emitem som com a mesma potência e frequência de 343 Hz, e estão em fase. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento resultante e a intensidade do som em dois pontos específicos: m e m. Para resolver isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e intensidade sonora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas dos deslocamentos das ondas sonoras emitidas por cada caixa. As funções dadas são:
uE(x, t) = A|x + 10| cos (2 pi (x - 343 t))
uD(x, t) = -A|x - 10| cos (2 pi (x + 343 t))
Aqui, é a amplitude inicial da onda, é a posição ao longo do eixo e é o tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício, que é no ponto uE(0, t) = A|0 + 10| cos (2 pi (0 - 343 t)) = A10 cos (-686 pi t) m.
Substituindo uD(0, t) = -A|0 - 10| cos (2 pi (0 + 343 t)) = -A10 cos (686 pi t) nas equações:
uE(0, t) = A10 cos (686 pi t)
Observamos que , então:

Passo 4

Agora, somamos os deslocamentos das duas ondas para obter o deslocamento resultante:
utotal(0, t) = uE(0, t) + uD(0, t) = A10 cos (686 pi t) - A10 cos (686 pi t) = 0
Portanto, no ponto m, o deslocamento resultante é zero. Isso significa que, nesse ponto, as ondas se cancelam completamente.

Passo 5

Como o deslocamento resultante é zero, a intensidade do som também será zero nesse ponto. A intensidade do som está relacionada ao quadrado da amplitude do deslocamento ( ). Se o deslocamento é zero, a intensidade também é zero, indicando que não há som audível nesse ponto devido ao cancelamento das ondas.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), no ponto uE(0,25, t) = A|0,25 + 10| cos (2 pi (0,25 - 343 t)) = A10,25 cos (2 pi (0,25 - 343 t)) m.
Substituindo uD(0,25, t) = -A|0,25 - 10| cos (2 pi (0,25 + 343 t)) = -A9,75 cos (2 pi (0,25 + 343 t)) m nas equações:

Passo 7

Vamos simplificar as expressões:
uE(0,25, t) = A10,25 cos (2 pi cdot 0,25 - 686 pi t) = A10,25 cos (0,5pi - 686 pi t)
uD(0,25, t) = -A9,75 cos (0,5pi + 686 pi t)

Passo 8

Para encontrar o deslocamento total, somamos utotal(0,25, t) = A10,25 cos (0,5pi - 686 pi t) - A9,75 cos (0,5pi + 686 pi t) e :
Neste ponto, precisamos considerar que as ondas não estão exatamente em fase devido à pequena diferença na distância, então não haverá cancelamento completo.

Passo 9

Para simplificar, podemos usar a identidade trigonométrica:
cos(alpha pm beta) = cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta
Aplicando isso:
utotal(0,25, t) = A10,25 [cos(0,5pi)cos(686 pi t) + sin(0,5pi)sin(686 pi t)] - A9,75 [cos(0,5pi)cos(686 pi t) - sin(0,5pi)sin(686 pi t)]
Sabemos que utotal(0,25, t) = A10,25 [0 + 1 cdot sin(686 pi t)] - A9,75 [0 - 1 cdot sin(686 pi t)] = (A10,25 + A9,75) sin(686 pi t) e , então simplificando:

Passo 10

Calculando os coeficientes:
110,25 + 19,75 approx 0,09756 + 0,10256 = 0,20012
Portanto:
utotal(0,25, t) approx 0,20012 A sin(686 pi t)

Passo 11

Agora, para encontrar a intensidade do som, usamos a relação I propto (0,20012 A)^2 = 0,04005 A^2 . A intensidade resultante será proporcional ao quadrado da amplitude total:
Comparando com a intensidade individual das caixas, percebemos que a intensidade no ponto m é aproximadamente 4% da intensidade de uma única fonte.

Resposta

(a) No ponto m, o deslocamento resultante é zero, e a intensidade sonora é nula.
(b) No ponto m, o deslocamento resultante é aproximadamente , e a intensidade sonora é cerca de 4% da intensidade de uma única caixa.

Exercícios relacionados