Qustã̃: Uma casca esférica, uniforme, de massa igual a 1.000 kg porsaui raio de 5 m . Calcule a forrea gravitacional que essa casca seerce sobere una massa pontual de
ablucada mas rerguintos distâncias do centro da casca: (i)
i (ii)
; (iii)
. Em cada caso, explique
use
trorema das cascas. Dado constante gravitacional:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a força gravitacional exercida por uma casca esférica uniforme sobre uma massa pontual. O enunciado nos dá uma casca de massa 1.000 kg e raio de 5 metros, e uma massa pontual de 2,0 kg em diferentes distâncias do centro da casca. Para resolver isso, vamos usar o teorema das cascas, que nos ajuda a determinar a força gravitacional nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o teorema das cascas. Esse teorema diz que, para uma casca esférica de massa uniforme:
- Se a massa pontual está fora da casca (distância maior que o raio), a casca age como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro.
- Se a massa pontual está dentro da casca (distância menor que o raio), a força gravitacional total exercida pela casca sobre a massa é zero.
Isso significa que a força gravitacional depende de onde a massa pontual está em relação à casca.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da força gravitacional:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da casca, -
é a massa pontual, -
é a distância entre os centros das massas.
Vamos aplicar essa fórmula considerando as diferentes posições da massa pontual.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
(i)
Aqui, a massa pontual está fora da casca, já que
. Usamos o teorema das cascas como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro.
(ii)
Aqui, a massa pontual está dentro da casca, já que
. Segundo o teorema das cascas, a força gravitacional é zero.
(iii)
Novamente, a massa pontual está dentro da casca, pois
. A força gravitacional também será zero.
Resposta
A força gravitacional exercida pela casca sobre a massa pontual de
é:
-
(i)
: -
(ii)
: -
(iii)
:
Portanto, somente quando a massa pontual está ligeiramente fora da casca, há uma força gravitacional atuando; quando está dentro, a força é nula.