Qustã̃: Uma casca esférica, uniforme, de massa igual a 1.000 kg porsaui raio de 5 m . Calcule a forrea gravitacional que essa casca seerce sobere una massa pontual de 2,0 kg ablucada mas rerguintos distâncias do centro da casca: (i) 5,01 m i (ii) 4,99 m; (iii) 2,72 m. Em cada caso, explique a use > trorema das cascas. Dado constante gravitacional: G=6,67 times 10^-4 N cdot m^2 / kg^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a força gravitacional exercida por uma casca esférica uniforme sobre uma massa pontual. O enunciado nos dá uma casca de massa 1.000 kg e raio de 5 metros, e uma massa pontual de 2,0 kg em diferentes distâncias do centro da casca. Para resolver isso, vamos usar o teorema das cascas, que nos ajuda a determinar a força gravitacional nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o teorema das cascas. Esse teorema diz que, para uma casca esférica de massa uniforme:
  • Se a massa pontual está fora da casca (distância maior que o raio), a casca age como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro.
  • Se a massa pontual está dentro da casca (distância menor que o raio), a força gravitacional total exercida pela casca sobre a massa é zero.
Isso significa que a força gravitacional depende de onde a massa pontual está em relação à casca.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da força gravitacional:
F = G cdot M cdot mr^2
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da casca,
  • é a massa pontual,
  • é a distância entre os centros das massas.
Vamos aplicar essa fórmula considerando as diferentes posições da massa pontual.

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
(i) F = G cdot M cdot mr^2 = 6,67 times 10^-4 cdot 1000 cdot 2(5,01)^2
Aqui, a massa pontual está fora da casca, já que F = 0 . Usamos o teorema das cascas como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro.
F = 0
(ii)
Aqui, a massa pontual está dentro da casca, já que . Segundo o teorema das cascas, a força gravitacional é zero.
(iii)
Novamente, a massa pontual está dentro da casca, pois . A força gravitacional também será zero.

Resposta

A força gravitacional exercida pela casca sobre a massa pontual de é:
  • (i) :
  • (ii) :
  • (iii) :
Portanto, somente quando a massa pontual está ligeiramente fora da casca, há uma força gravitacional atuando; quando está dentro, a força é nula.

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