Um oscilador unidimensional está sujeito a três movimentos harmônicos simples simultâneos, todos de mesma frequência e mesma amplitude, a qual vale 1 unidade de comprimento. Além disso, dois deles estão em fase entre si e o terceiro está em oposição de fase (completamente fora de fase). Qual a amplitude de oscilação do oscilador (em termos da mesma unidade de comprimento)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um oscilador unidimensional que está passando por três movimentos harmônicos simples ao mesmo tempo. Todos esses movimentos têm a mesma frequência e a mesma amplitude, que é 1 unidade de comprimento. Além disso, dois desses movimentos estão em fase (ou seja, vão para a mesma direção ao mesmo tempo) e o terceiro está em oposição de fase (vai para a direção oposta). A pergunta é: qual será a amplitude total da oscilação resultante desse oscilador?
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre superposição de movimentos harmônicos e como as fases influenciam na amplitude final. Vamos usar um pouco de matemática simples com fórmulas em LaTeX para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada parte:
  • Movimento Harmônico Simples (MHS): É um tipo de movimento oscilatório que pode ser descrito por uma função seno ou cosseno. A fórmula geral é:
    x(t) = A cos(omega t + phi)
    Onde:
    • é a amplitude,
    • é a frequência angular,
    • é a fase inicial.
  • Superposição de Movimentos: Quando dois ou mais movimentos harmônicos simples são aplicados ao mesmo objeto, a posição resultante é a soma das posições individuais.

Passo 3

No nosso caso, temos três MHSs:
  1. Primeiro MHS: (amplitude 1, fase 0)
  2. Segundo MHS: (amplitude 1, mesma fase do primeiro)
  3. Terceiro MHS: (amplitude 1, fase oposta, já que é totalmente fora de fase)

Passo 4

Vamos somar esses três movimentos para encontrar a posição resultante xtotal(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t) = 1 cos(omega t) + 1 cos(omega t) + 1 cos(omega t + pi) :
xtotal(t) = 1 cos(omega t) + 1 cos(omega t) - 1 cos(omega t) = (1 + 1 - 1) cos(omega t) = 1 cos(omega t)
Sabemos que . Portanto, substituindo:

Passo 5

A posição resultante é , que é um movimento harmônico simples com amplitude 1.

Resposta

A amplitude de oscilação do oscilador é 1 unidade de comprimento.

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