Considere a base para o espaço vetorial . Determine as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base para o espaço vetorial e precisamos descobrir as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte no vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base por um escalar e somamos tudo para chegar no vetor .
Passo 3
Vamos escrever essa equação vetorial em termos das componentes individuais. Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: .
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis. Olhando para as equações, podemos subtrair a terceira da primeira para eliminar :
çã
Agora, vamos subtrair a terceira da segunda:
çã
Passo 5
Agora, temos duas novas equações:
çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para :
Substituindo esse valor na Equação 5:
Passo 6
Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a Equação 4:
Em seguida, vamos encontrar usando a primeira equação do sistema original: