Considere a base para o espaço vetorial . Determine as coordenadas do vetor em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base para o espaço vetorial e precisamos descobrir as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte no vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base por um escalar e somamos tudo para chegar no vetor .
Passo 3
Vamos escrever essa equação vetorial em termos das componentes individuais. Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: .
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis. Olhando para as equações, podemos subtrair a terceira da primeira para eliminar (x + 2y + z) - (x + y - z) = 1 - 3 Rightarrow y + 2z = -2 (Equação 4) :
Agora que temos o valor de y = -2 - 2(-57) y = -2 + 107 y = -47 , vamos encontrar x + 2(-47) + (-57) = 1 x - 87 - 57 = 1 x - 137 = 1 x = 1 + 137 x = 207 usando a Equação 4:
Em seguida, vamos encontrar usando a primeira equação do sistema original:
Resposta
As coordenadas do vetor v = (1,2,3) em relação à base B são ( dfrac207, -dfrac47, -dfrac57 ).