Considere a base B=(1,1,1),(2,-1,1),(1,2,-1) para o espaço vetorial R^3. Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,3) em relação à base B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base B = (1,1,1), (2,-1,1), (1,2,-1) para o espaço vetorial R^3 e precisamos descobrir as coordenadas do vetor v = (1,2,3) nessa base. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte no vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Queremos encontrar escalares x cdot (1,1,1) + y cdot (2,-1,1) + z cdot (1,2,-1) = (1,2,3) tais que:
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base por um escalar e somamos tudo para chegar no vetor .

Passo 3

Vamos escrever essa equação vetorial em termos das componentes individuais. Isso nos dá um sistema de equações:
x + 2y + z = 1 x - y + 2z = 2 x + y - z = 3
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis. Olhando para as equações, podemos subtrair a terceira da primeira para eliminar (x + 2y + z) - (x + y - z) = 1 - 3 Rightarrow y + 2z = -2 (Equação 4) :
(x - y + 2z) - (x + y - z) = 2 - 3 Rightarrow -2y + 3z = -1 (Equação 5) çã
Agora, vamos subtrair a terceira da segunda:
çã

Passo 5

Agora, temos duas novas equações:
y + 2z = -2 (Equação 4) -2y + 3z = -1 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para y = -2 - 2z :
-2(-2 - 2z) + 3z = -1 4 + 4z + 3z = -1 7z = -5 z = -57
Substituindo esse valor na Equação 5:

Passo 6

Agora que temos o valor de y = -2 - 2(-57) y = -2 + 107 y = -47 , vamos encontrar x + 2(-47) + (-57) = 1 x - 87 - 57 = 1 x - 137 = 1 x = 1 + 137 x = 207 usando a Equação 4:
Em seguida, vamos encontrar usando a primeira equação do sistema original:

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1,2,3) em relação à base B são ( dfrac207, -dfrac47, -dfrac57 ).

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