Considere a base para o espaço vetorial . Determine as coordenadas do vetor em relação à base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base para o espaço vetorial e precisamos descobrir as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que envolve encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte no vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que multiplicamos cada vetor da base por um escalar e somamos tudo para chegar no vetor .

Passo 3

Vamos escrever essa equação vetorial em termos das componentes individuais. Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis. Olhando para as equações, podemos subtrair a terceira da primeira para eliminar :
çã
Agora, vamos subtrair a terceira da segunda:
çã

Passo 5

Agora, temos duas novas equações:
çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para :
Substituindo esse valor na Equação 5:

Passo 6

Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a Equação 4:
Em seguida, vamos encontrar usando a primeira equação do sistema original:

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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