Seja uma base de . Encontre uma base de tal que a matriz de mudança de base seja dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma nova base para o espaço polinomial , sabendo que já temos uma base e a matriz de mudança de base . O conteúdo aqui envolve conceitos de bases, espaço vetorial e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de mudança de base relaciona as duas bases e usar isso para encontrar os vetores que formam .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base transforma as coordenadas dos vetores da base para as coordenadas na base . Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor de na base . Então, se chamarmos os vetores de de , e , temos:
significa que:
Aqui, , e são os vetores da base .

Passo 3

Vamos agora substituir os vetores da base nas equações acima. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de , temos:
Vamos fazer o mesmo para e .

Passo 4

Vamos calcular cada um separadamente começando por :
Agora, distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Agora, vamos fazer o mesmo para e .

Passo 5

Calculando :
Distribuindo:
Somando termos semelhantes:
Agora, para :
Distribuindo:
Somando termos semelhantes:

Resposta

Portanto, uma base de que satisfaz a condição dada é:

Exercícios relacionados

Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados e . Essas equações podem ser colocadas na forma simétrica? Por quê?
Considere a base para o espaço vetorial . Determine as coordenadas do vetor em relação à base .
Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2. Sejam e duas bases de .
(a) Encontre a matriz de mudança de base , que transforma as coordenadas de um polinômio de para , e a matriz inversa .
(b) Encontre o vetor coordenada do polinômio em relação à base .
Considere as bases e de relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .
(b) Se um vetor tem coordenadas em relação à base , quais são as coordenadas de em relação à base ?