Seja uma base de . Encontre uma base de tal que a matriz de mudança de base seja dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma nova base para o espaço polinomial , sabendo que já temos uma base e a matriz de mudança de base . O conteúdo aqui envolve conceitos de bases, espaço vetorial e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de mudança de base relaciona as duas bases e usar isso para encontrar os vetores que formam .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base transforma as coordenadas dos vetores da base para as coordenadas na base . Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor de na base . Então, se chamarmos os vetores de de , e , temos:
significa que:
Aqui, , e são os vetores da base .
Passo 3
Vamos agora substituir os vetores da base nas equações acima. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de , temos:
Vamos fazer o mesmo para e .
Passo 4
Vamos calcular cada um separadamente começando por :
Agora, distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Agora, vamos fazer o mesmo para e .
Passo 5
Calculando :
Distribuindo:
Somando termos semelhantes:
Agora, para :
Distribuindo:
Somando termos semelhantes:
Resposta
Portanto, uma base de que satisfaz a condição dada é: