Seja uma base de . Encontre uma base de tal que a matriz de mudança de base seja dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma nova base B para o espaço polinomial P2(R), sabendo que já temos uma base C = 1+x, 1+x+x^2, x+x^2 e a matriz de mudança de base PC B. O conteúdo aqui envolve conceitos de bases, espaço vetorial e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de mudança de base relaciona as duas bases e usar isso para encontrar os vetores que formam B.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base PC B transforma as coordenadas dos vetores da base B para as coordenadas na base C. Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor de B na base C. Então, se chamarmos os vetores de B de b1, b2 e b3, temos:
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
significa que:
b1 = 1 cdot c1 + 1 cdot c2 + 2 cdot c3
b2 = 1 cdot c1 + 2 cdot c2 + 1 cdot c3
b3 = 2 cdot c1 + 1 cdot c2 + 1 cdot c3
Aqui, c1, c2 e c3 são os vetores da base C.
Passo 3
Vamos agora substituir os vetores da base C nas equações acima. Sabemos que: