Seja C=1+x, 1+x+x^2, x+x^2 uma base de P2(R). Encontre uma base B de P2(R) tal que a matriz de mudança de base PC B seja dada por:
PC B=(lll 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma nova base B para o espaço polinomial P2(R), sabendo que já temos uma base C = 1+x, 1+x+x^2, x+x^2 e a matriz de mudança de base PC B. O conteúdo aqui envolve conceitos de bases, espaço vetorial e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a matriz de mudança de base relaciona as duas bases e usar isso para encontrar os vetores que formam B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base PC B transforma as coordenadas dos vetores da base B para as coordenadas na base C. Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor de B na base C. Então, se chamarmos os vetores de B de b1, b2 e b3, temos:
1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
significa que:
b1 = 1 cdot c1 + 1 cdot c2 + 2 cdot c3
b2 = 1 cdot c1 + 2 cdot c2 + 1 cdot c3
b3 = 2 cdot c1 + 1 cdot c2 + 1 cdot c3
Aqui, c1, c2 e c3 são os vetores da base C.

Passo 3

Vamos agora substituir os vetores da base C nas equações acima. Sabemos que:
c1 = 1 + x
c2 = 1 + x + x^2
c3 = x + x^2
Então, substituindo na expressão de b1, temos:
b1 = 1 cdot (1 + x) + 1 cdot (1 + x + x^2) + 2 cdot (x + x^2)
Vamos fazer o mesmo para b2 e b3.

Passo 4

Vamos calcular cada um separadamente começando por b1:
b1 = (1 + x) + (1 + x + x^2) + 2(x + x^2)
Agora, distribuindo os termos:
b1 = 1 + x + 1 + x + x^2 + 2x + 2x^2
Somando os termos semelhantes:
b1 = (1 + 1) + (x + x + 2x) + (x^2 + 2x^2)
b1 = 2 + 4x + 3x^2
Agora, vamos fazer o mesmo para b2 e b3.

Passo 5

Calculando b2:
b2 = 1 cdot (1 + x) + 2 cdot (1 + x + x^2) + 1 cdot (x + x^2)
Distribuindo:
b2 = (1 + x) + 2(1 + x + x^2) + (x + x^2)
b2 = 1 + x + 2 + 2x + 2x^2 + x + x^2
Somando termos semelhantes:
b2 = (1 + 2) + (x + 2x + x) + (2x^2 + x^2)
b2 = 3 + 4x + 3x^2
Agora, para b3:
b3 = 2 cdot (1 + x) + 1 cdot (1 + x + x^2) + 1 cdot (x + x^2)
Distribuindo:
b3 = 2(1 + x) + (1 + x + x^2) + (x + x^2)
b3 = 2 + 2x + 1 + x + x^2 + x + x^2
Somando termos semelhantes:
b3 = (2 + 1) + (2x + x + x) + (x^2 + x^2)
b3 = 3 + 4x + 2x^2

Resposta

Portanto, uma base B de P2(R) que satisfaz a condição dada é:
B = 2 + 4x + 3x^2, ; 3 + 4x + 3x^2, ; 3 + 4x + 2x^2

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