Seja
um conjunto não vazio provido de um produto associativo, então
é um grupo se, e somente se, as equações
tem solução única para cada
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um conjunto não vazio
com uma operação que é associativa. Queremos provar que
é um grupo se e somente se as equações
e
têm solução única para cada
.
Aqui, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente as condições necessárias e suficientes para que um conjunto com uma operação seja um grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um grupo e como a existência de soluções únicas para essas equações se relaciona com essas definições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto
equipado com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: Para todo
, também está em . - Associatividade: Para todo
, . - Elemento identidade: Existe um elemento
tal que para todo . - Elemento inverso: Para cada
, existe um elemento tal que .
No enunciado, já sabemos que a operação é associativa e o conjunto
não está vazio. Portanto, para mostrar que
é um grupo, precisamos garantir que as propriedades de existência de identidade e inversos estão satisfeitas. A condição das equações
e
ter solução única nos ajuda a estabelecer essas propriedades.
Passo 3
Vamos primeiro provar a necessidade, ou seja, se
é um grupo, então as equações
e
têm solução única para cada
.
Como
é um grupo, sabemos que cada elemento
tem um inverso
. Se considerarmos a equação
, podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de
à esquerda:
Pela associatividade:
Sabemos que
, onde
é o elemento identidade:
E como
é a identidade:
Portanto, a solução é única. Similarmente, para
, multiplicamos pela inversa de
à direita e chegamos a
. Assim, em um grupo, ambas as equações têm soluções únicas.
Passo 4
Agora, vamos provar a suficiência, ou seja, se as equações
e
têm solução única para cada
, então
é um grupo.
Primeiro, vamos mostrar que existe um elemento identidade. Tomemos
na equação
. Então:
Como a solução é única, deve ser que
, onde
é o elemento identidade. Portanto, existe um elemento
em
tal que
para todo
.
Em seguida, vamos mostrar que cada elemento tem um inverso. Para cada
, considere a equação
. Pela hipótese, existe uma solução única, digamos
, tal que:
Analogamente, para a equação
, temos:
Portanto, cada elemento tem um inverso.
Como já sabemos que a operação é associativa e que existem identidade e inversos,
satisfaz todas as propriedades de um grupo.
Resposta
Concluímos que um conjunto
não vazio com uma operação associativa é um grupo se e somente se para cada
, as equações
e
têm soluções únicas. Assim,
é um grupo conforme as condições dadas.
Exercícios relacionados
Seja
uma base de
. Determine o vetor coordenada de
em relação à base
nos seguintes casos:
(a) ,
(b) , onde
e
são valores reais arbitrários.
(a)
(b)
Seja
. Mostre que (
) é um grupo.
Considere a base
para o espaço vetorial
. Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
.
Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados
e
. Essas equações podem ser colocadas na forma simétrica? Por quê?