Seja um conjunto não vazio provido de um produto associativo, então é um grupo se, e somente se, as equações tem solução única para cada .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um conjunto não vazio com uma operação que é associativa. Queremos provar que é um grupo se e somente se as equações e têm solução única para cada .
Aqui, estamos lidando com teoria de grupos, especificamente as condições necessárias e suficientes para que um conjunto com uma operação seja um grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um grupo e como a existência de soluções únicas para essas equações se relaciona com essas definições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto equipado com uma operação que satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: Para todo , também está em .
  2. Associatividade: Para todo , .
  3. Elemento identidade: Existe um elemento tal que para todo .
  4. Elemento inverso: Para cada , existe um elemento tal que .
No enunciado, já sabemos que a operação é associativa e o conjunto não está vazio. Portanto, para mostrar que é um grupo, precisamos garantir que as propriedades de existência de identidade e inversos estão satisfeitas. A condição das equações e ter solução única nos ajuda a estabelecer essas propriedades.

Passo 3

Vamos primeiro provar a necessidade, ou seja, se é um grupo, então as equações e têm solução única para cada .
Como é um grupo, sabemos que cada elemento tem um inverso . Se considerarmos a equação , podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de à esquerda:
Pela associatividade:
Sabemos que , onde é o elemento identidade:
E como é a identidade:
Portanto, a solução é única. Similarmente, para , multiplicamos pela inversa de à direita e chegamos a . Assim, em um grupo, ambas as equações têm soluções únicas.

Passo 4

Agora, vamos provar a suficiência, ou seja, se as equações e têm solução única para cada , então é um grupo.
Primeiro, vamos mostrar que existe um elemento identidade. Tomemos na equação . Então:
Como a solução é única, deve ser que , onde é o elemento identidade. Portanto, existe um elemento em tal que para todo .
Em seguida, vamos mostrar que cada elemento tem um inverso. Para cada , considere a equação . Pela hipótese, existe uma solução única, digamos , tal que:
Analogamente, para a equação , temos:
Portanto, cada elemento tem um inverso.
Como já sabemos que a operação é associativa e que existem identidade e inversos, satisfaz todas as propriedades de um grupo.

Resposta

Concluímos que um conjunto não vazio com uma operação associativa é um grupo se e somente se para cada , as equações e têm soluções únicas. Assim, é um grupo conforme as condições dadas.

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