Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados e . Essas equações podem ser colocadas na forma simétrica? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever as equações paramétricas dos eixos coordenados , e . Além disso, temos que verificar se essas equações podem ser colocadas na forma simétrica e explicar o porquê. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas. Elas descrevem uma linha usando um parâmetro, geralmente , que varia livremente. No espaço tridimensional, uma linha pode ser descrita por três equações, cada uma para uma coordenada , e , em função de .

Passo 3

Vamos começar com o eixo . Esse eixo passa pela origem e se estende na direção positiva e negativa do eixo . Como ele está alinhado com o eixo , as coordenadas e são sempre zero. Então, as equações paramétricas ficam assim:
Aqui, pode ser qualquer número real.

Passo 4

Agora, vamos para o eixo . Esse eixo também passa pela origem, mas está direcionado ao longo do eixo . Assim, as coordenadas e são sempre zero, e varia livremente. As equações paramétricas são:

Passo 5

Por fim, temos o eixo . Ele está alinhado com o eixo , então e são sempre zero, e pode variar. As equações paramétricas ficam:

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a forma simétrica das equações das linhas. A forma simétrica é obtida eliminando o parâmetro das equações paramétricas. Ela geralmente fica assim:
Onde é um ponto pela onde a linha passa e , , são os coeficientes diretores da linha.

Passo 7

Vamos tentar aplicar a forma simétrica aos eixos coordenados. Tomando, por exemplo, o eixo :
Aqui, temos divisões por zero, o que não é permitido na matemática. Isso acontece porque os eixos coordenados são alinhados exatamente com um dos eixos principais, fazendo com que dois dos coeficientes diretores sejam zero. Como resultado, a forma simétrica não funciona para os eixos coordenados.

Resposta

As equações paramétricas dos eixos coordenados são:
  • Eixo :
  • Eixo :
  • Eixo :
Essas equações não podem ser escritas na forma simétrica porque envolvem divisões por zero, o que não é permitido. A forma simétrica requer que todos os coeficientes diretores sejam diferentes de zero, o que não acontece nos eixos coordenados.

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