Seja B=u1, u2=(1,1),(2,3) uma base de R^2. Determine o vetor coordenada de v em relação à base S nos seguintes casos:
(a) v=(4,-3),
(b) v=(a, b), onde a e b são valores reais arbitrários.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre encontrar as coordenadas de um vetor v em relação a uma base específica B = (1,1), (2,3) no espaço R^2. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases e coordenadas de vetores. Vamos precisar entender como expressar um vetor qualquer como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que qualquer vetor v no R^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base B. Ou seja, queremos encontrar escalares c1 e c2 tais que:
v = c1 u1 + c2 u2
Substituindo u1 = (1,1) e u2 = (2,3), temos:
(4, -3) = c1 (1,1) + c2 (2,3)

Passo 3

Agora, vamos separar as componentes para resolver o sistema de equações. Isso nos dá:
c1 + 2c2 = 4 c1 + 3c2 = -3
Isso significa que precisamos encontrar os valores de c1 e c2 que satisfazem ambas as equações.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar c1:
(c1 + 3c2) - (c1 + 2c2) = -3 - 4
Simplificando:
c2 = -7

Passo 5

Com o valor de c2 encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar c1:
c1 + 2(-7) = 4 c1 - 14 = 4 c1 = 18

Resposta

O vetor coordenada de v = (4, -3) em relação à base B é (18, -7).

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