Seja uma base de . Determine o vetor coordenada de em relação à base nos seguintes casos:
(a) ,
(b) , onde e são valores reais arbitrários.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base específica no espaço . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases e coordenadas de vetores. Vamos precisar entender como expressar um vetor qualquer como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo e , temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as componentes para resolver o sistema de equações. Isso nos dá:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de e que satisfazem ambas as equações.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Simplificando:

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

O vetor coordenada de em relação à base é .

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