Seja
uma base de
. Determine o vetor coordenada de
em relação à base
nos seguintes casos:
(a)
,
(b)
, onde
e
são valores reais arbitrários.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre encontrar as coordenadas de um vetor
em relação a uma base específica
no espaço
. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre bases e coordenadas de vetores. Vamos precisar entender como expressar um vetor qualquer como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber que qualquer vetor
no
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Substituindo
e
, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as componentes para resolver o sistema de equações. Isso nos dá:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Resposta
O vetor coordenada de
em relação à base
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que (
) é um grupo.
Demonstrar que o conjunto de números reais
forma um grupo com a operação de adição (usual).
Seja
um conjunto não vazio provido de um produto associativo, então
é um grupo se, e somente se, as equações
tem solução única para cada
.
Considere a base
para o espaço vetorial
. Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
.