Considere a base B=(1,-1,3),(0,1,-1),(0,3,-2) de R^3. Determine a base dual B^*= phi1, phi2, phi3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a base dual de uma base dada no espaço . O conteúdo aqui envolve bases e bases duals na álgebra linear. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona a base dual e usar um pouco de álgebra matricial, como encontrar a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base B = v1, v2, v3 = (1, -1, 3), (0, 1, -1), (0, 3, -2) . A base é dada por:
M = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 3 3 & -1 & -2
Então, a gente coloca esses vetores como colunas de uma matriz :

Passo 3

Agora, para encontrar a base dual det(M) = 1 cdot (1 cdot (-2) - 3 cdot (-1)) - 0 + 0 = 1 cdot (-2 + 3) = 1 , precisamos encontrar a matriz inversa de M^-1 = -2 & -3 & 0 3 & 5 & 1 1 & 2 & 0 , ou seja, . A razão disso é que as linhas de correspondem às funções lineares da base dual. Vamos calcular .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1, a matriz é invertível e sua inversa é:

Passo 4

Com a matriz inversa em mãos, as linhas de phi1 = -2x - 3y phi2 = 3x + 5y + z phi3 = x + 2y são exatamente as funções lineares que compõem a base dual . Então, temos:

Resposta

A base dual B^* = phi1 = -2x - 3y, phi2 = 3x + 5y + z, phi3 = x + 2y é dada por:

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