Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a base dual de uma base dada no espaço . O conteúdo aqui envolve bases e bases duals na álgebra linear. Para resolver, a gente vai precisar entender como funciona a base dual e usar um pouco de álgebra matricial, como encontrar a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam a base . A base é dada por:
Então, a gente coloca esses vetores como colunas de uma matriz :
Passo 3
Agora, para encontrar a base dual det(M) = 1 cdot (1 cdot (-2) - 3 cdot (-1)) - 0 + 0 = 1 cdot (-2 + 3) = 1 , precisamos encontrar a matriz inversa de M^-1 = -2 & -3 & 0 3 & 5 & 1 1 & 2 & 0 , ou seja, . A razão disso é que as linhas de correspondem às funções lineares da base dual. Vamos calcular .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1, a matriz é invertível e sua inversa é:
Passo 4
Com a matriz inversa em mãos, as linhas de phi1 = -2x - 3y phi2 = 3x + 5y + z phi3 = x + 2y são exatamente as funções lineares que compõem a base dual . Então, temos:
Resposta
A base dual B^* = phi1 = -2x - 3y, phi2 = 3x + 5y + z, phi3 = x + 2y é dada por: