(3, 0 pontos) Seja
o círculo de centro no ponto de interseção das retas
e
dadas por
A reta
é tangente ao círculo
no ponto
. Determine
(b) o ponto
(b) o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um círculo
cujo centro é o ponto de interseção das retas
e
. Além disso, temos uma reta
que é tangente ao círculo no ponto
. Nosso objetivo aqui é encontrar esse ponto
. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto de interseção de duas retas e entender um pouco sobre propriedades de retas tangentes a círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro do círculo
. Isso significa encontrar o ponto onde as retas
e
se cruzam. A reta
está dada por:
E a reta
é parametrizada por:
Vamos achar o valor de
que faz com que o ponto
de
também satisfaça a equação de
.
Passo 3
Substituímos as expressões de
e
de
na equação de
:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir de volta nas equações de
para encontrar as coordenadas do centro
:
Então, o centro
do círculo é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o ponto
onde a reta
é tangente ao círculo
. Sabemos que, em uma tangente, o raio que vai do centro do círculo ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o vetor que liga
a
é perpendicular à reta
.
Passo 6
Para encontrar
, podemos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância do centro
à reta
deve ser igual ao raio do círculo. Mas como não temos o raio, uma maneira mais direta é encontrar o ponto na reta
que está mais próximo de
, já que esse será o ponto de tangência.
A fórmula para encontrar o ponto mais próximo
de
na reta
é:
Passo 7
Vamos aplicar essa fórmula. Primeiro, reescrevemos a equação da reta
na forma
:
Aqui,
,
e
. O centro
tem coordenadas
.
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular o numerador das frações:
E o denominador:
Então:
Resposta
O ponto
é
.