(3, 0 pontos) Seja C o círculo de centro no ponto de interseção das retas r1 e r2 dadas por
r1: x+2 y=1 e r2:l x=5+t y=4+2 t
A reta r: x+2 y=2 é tangente ao círculo C no ponto Q. Determine
(b) o ponto Q

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um círculo cujo centro é o ponto de interseção das retas e . Além disso, temos uma reta que é tangente ao círculo no ponto . Nosso objetivo aqui é encontrar esse ponto . Para isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto de interseção de duas retas e entender um pouco sobre propriedades de retas tangentes a círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro do círculo r1: x + 2y = 1 . Isso significa encontrar o ponto onde as retas r2: x = 5 + t y = 4 + 2t e se cruzam. A reta está dada por:
E a reta é parametrizada por:
Vamos achar o valor de que faz com que o ponto de também satisfaça a equação de .

Passo 3

Substituímos as expressões de (5 + t) + 2(4 + 2t) = 1 e 5 + t + 8 + 4t = 1 5 + 8 + t + 4t = 1 13 + 5t = 1 5t = 1 - 13 5t = -12 t = -125 de na equação de :
Vamos resolver essa equação para encontrar :

Passo 4

Agora que temos x = 5 + (-125) = 255 - 125 = 135 y = 4 + 2(-125) = 4 - 245 = 205 - 245 = -45 , vamos substituir de volta nas equações de para encontrar as coordenadas do centro :
Então, o centro do círculo é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o ponto onde a reta é tangente ao círculo . Sabemos que, em uma tangente, o raio que vai do centro do círculo ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o vetor que liga a é perpendicular à reta .

Passo 6

Para encontrar Q( x0 - a(ax0 + by0 + c)a^2 + b^2, , y0 - b(ax0 + by0 + c)a^2 + b^2 ) , podemos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância do centro à reta deve ser igual ao raio do círculo. Mas como não temos o raio, uma maneira mais direta é encontrar o ponto na reta que está mais próximo de , já que esse será o ponto de tangência.
A fórmula para encontrar o ponto mais próximo de na reta é:

Passo 7

Vamos aplicar essa fórmula. Primeiro, reescrevemos a equação da reta x + 2y - 2 = 0 na forma Qx = 135 - 1(1 cdot 135 + 2 cdot (-45) - 2)1^2 + 2^2 Qy = -45 - 2(1 cdot 135 + 2 cdot (-45) - 2)1^2 + 2^2 :
Aqui, , e . O centro tem coordenadas .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Vamos calcular o numerador das frações:
1 cdot 135 + 2 cdot (-45) - 2 = 135 - 85 - 2 = 55 - 2 = 1 - 2 = -1
E o denominador:
1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Então:
Qx = 135 - 1 cdot (-1)5 = 135 + 15 = 145 Qy = -45 - 2 cdot (-1)5 = -45 + 25 = -25

Resposta

O ponto é .

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