Seja V um espaço euclidiano com produto interno lang<= u, vrang<=. Provar que a aplicação
(u, v) mapsto u * v=2lang<= u, vrang<=
também é um produto interno em V.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço euclidiano com um produto interno definido como . O exercício pede para provar que a aplicação que multiplica esse produto interno por 2, ou seja, , também satisfaz as propriedades de um produto interno. Vamos precisar lembrar o que define um produto interno e verificar se essa nova aplicação segue essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Simetria: .
  2. Linearidade no primeiro argumento: para escalares e .
  3. Positividade definida: , e se e somente se .
  4. Homogeneidade: para escalar .
Vamos verificar se também satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Simetria:
Vamos ver se u * v = 2lang<= u, v rang<= e v * u = 2lang<= v, u rang<= .
u * v = v * u
Como o produto interno original é simétrico ( ), temos:
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade no primeiro argumento:
Precisamos mostrar que (a u + b w) * v = 2lang<= a u + b w, v rang<= .
2(alang<= u, v rang<= + blang<= w, v rang<=) = a(2lang<= u, v rang<=) + b(2lang<= w, v rang<=) = a(u * v) + b(w * v)
Usando a linearidade do produto interno original:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.

Passo 5

Positividade definida:
Vamos verificar se u * u = 2lang<= u, u rang<= e que u * u >= 0 e u * u = 0 Rightarrow u = 0 implica .
Sabemos que e se e somente se . Como multiplicamos por 2, que é positivo, temos:
Portanto, a positividade definida está ok.

Passo 6

Homogeneidade:
Vamos mostrar que (a u) * v = 2lang<= a u, v rang<= = 2alang<= u, v rang<= = a(2lang<= u, v rang<=) = a(u * v) .
Assim, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas pela aplicação , concluímos que é realmente um produto interno em .

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