Seja
um espaço euclidiano com produto interno
. Provar que a aplicação
também é um produto interno em
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço euclidiano
com um produto interno definido como
. O exercício pede para provar que a aplicação que multiplica esse produto interno por 2, ou seja,
, também satisfaz as propriedades de um produto interno. Vamos precisar lembrar o que define um produto interno e verificar se essa nova aplicação segue essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
- Simetria:
. - Linearidade no primeiro argumento:
para escalares e . - Positividade definida:
, e se e somente se . - Homogeneidade:
para escalar .
Vamos verificar se
também satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Simetria:
Vamos ver se .
Vamos ver se
Como o produto interno original é simétrico (
), temos:
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade no primeiro argumento:
Precisamos mostrar que .
Precisamos mostrar que
Usando a linearidade do produto interno original:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
Positividade definida:
Vamos verificar se e que
implica
.
Vamos verificar se
Sabemos que
e
se e somente se
. Como multiplicamos por 2, que é positivo, temos:
Portanto, a positividade definida está ok.
Passo 6
Homogeneidade:
Vamos mostrar que .
Vamos mostrar que
Assim, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas pela aplicação
, concluímos que
é realmente um produto interno em
.