Seja V=P1(R). Considere os funcionais lineares phi1: P1(R) R e phi2: P1(R) R definidas por phi1(p(t))=integral0^1 p(t) d t e phi2(p(t))=integral0^2 p(t) d t. Determine a base B=p1(t), p2(t) de P1(R) cuja base dual é B^*=phi1, phi2.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos o espaço phi1(p(t)) = integral0^1 p(t) , dt e phi2(p(t)) = integral0^2 p(t) , dt , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio nesse espaço pode ser escrito como , onde e são números reais.
Nos foram dados dois funcionais lineares, e , definidos por:
O objetivo é encontrar uma base para cuja base dual seja precisamente .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base dual e como determinar os polinômios e que satisfazem as condições impostas pelos funcionais lineares.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o conceito de base dual. Em espaços vetoriais, a base dual phii(vj) = de de uma base phi1(p1) = 1, phi1(p2) = 0 é o conjunto de funcionais lineares phi2(p1) = 0, phi2(p2) = 1 que satisfazem:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário.
No nosso caso, queremos que:
Essas são as condições que nossos polinômios e devem satisfazer.

Passo 3

Vamos expressar os polinômios p1(t) = a + b t e p2(t) = c + d t de forma geral. Como pertencem a , podemos escrever:
onde e são coeficientes reais que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, aplicamos os funcionais phi1(p1) = integral0^1 (a + b t) , dt = 1 e phi2(p1) = integral0^2 (a + b t) , dt = 0 aos polinômios phi1(p2) = integral0^1 (c + d t) , dt = 0 e phi2(p2) = integral0^2 (c + d t) , dt = 1 e impomos as condições da base dual.
Primeiro, para :
E para :

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Para phi1(p1) = integral0^1 a , dt + integral0^1 b t , dt = a (1 - 0) + b ( 1^22 - 0^22 ) = a + b2 = 1 :
phi2(p1) = integral0^2 a , dt + integral0^2 b t , dt = a (2 - 0) + b ( 2^22 - 0^22 ) = 2a + 2b = 0
phi1(p2) = integral0^1 c , dt + integral0^1 d t , dt = c + d2 = 0
Para phi2(p2) = integral0^2 c , dt + integral0^2 d t , dt = 2c + 2b = 1 :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Para a + b2 = 1 2a + 2b = 0 :
2a + b = 2
Multiplicando a primeira equação por 2 para simplificar:
2a + b = 2 2a + 2b = 0
Agora, temos:
(2a + 2b) - (2a + b) = 0 - 2 b = -2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
2a - 2 = 2 2a = 4 a = 2
Substituindo c + d2 = 0 2c + 2d = 1 na primeira equação:
2c + d = 0
Portanto, 2c + d = 0 2c + 2d = 1 .
Agora, para (2c + 2d) - (2c + d) = 1 - 0 d = 1 :
2c + 1 = 0 2c = -1 c = -12
Multiplicando a primeira equação por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, .

Resposta

A base p1(t) = 2 - 2t e p2(t) = -12 + t é dada por:

Exercícios relacionados