Seja
. Considere os funcionais lineares
e
definidas por
e
. Determine a base
de
cuja base dual é
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio nesse espaço pode ser escrito como
, onde
e
são números reais.
Nos foram dados dois funcionais lineares,
e
, definidos por:
O objetivo é encontrar uma base
para
cuja base dual seja precisamente
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base dual e como determinar os polinômios
e
que satisfazem as condições impostas pelos funcionais lineares.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o conceito de base dual. Em espaços vetoriais, a base dual
de uma base
é o conjunto de funcionais lineares
que satisfazem:
onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário.
No nosso caso, queremos que:
Essas são as condições que nossos polinômios
e
devem satisfazer.
Passo 3
Vamos expressar os polinômios
e
de forma geral. Como pertencem a
, podemos escrever:
onde
e
são coeficientes reais que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, aplicamos os funcionais
e
aos polinômios
e
e impomos as condições da base dual.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Para
:
Multiplicando a primeira equação por 2 para simplificar:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto,
.
Agora, para
:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto,
.
Resposta
A base
é dada por: