Considere a base B=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) de R^3 e seja T: R^3 longrightarrow R^3 o operador linear tal que T(1,1,1)=(2,-1,4), T(1,1,0)=(3,0,1) e T(1,0,0)=(-1,5,1)
a) Encontre uma fórmula para T(x, y, z).
b) Determinar T(2,4,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma base do espaço tridimensional e um operador linear que transforma cada vetor dessa base em outros vetores específicos. Nosso objetivo é:
a) Encontrar uma fórmula geral para .
b) Determinar o resultado de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, bases e como expressar vetores em termos de uma base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada por como ela age sobre uma base do espaço. Isso significa que se sabemos como transforma cada vetor da base, podemos usar essa informação para encontrar de qualquer vetor no espaço.

Passo 3

Nosso próximo passo é expressar um vetor qualquer (x, y, z) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) em como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 4

Vamos escrever isso em termos de coordenadas:
x = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 y = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 z = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0
Simplificando:
x = a + b + c y = a + b z = a

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar a = z , y = z + b implies b = y - z e x = z + (y - z) + c implies x = y + c implies c = x - y em termos de , e .
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:

Passo 6

Então, agora temos:
a = z, b = y - z, c = x - y
Agora que expressamos , e em termos de , e , podemos usar a propriedade de linearidade de para encontrar .

Passo 7

A transformação linear T(x, y, z) = a cdot T(1,1,1) + b cdot T(1,1,0) + c cdot T(1,0,0) age sobre a combinação linear dos vetores da base da seguinte forma:
T(1,1,1) = (2, -1, 4), T(1,1,0) = (3, 0, 1), T(1,0,0) = (-1, 5, 1)
Sabemos que:

Passo 8

Substituindo T(x, y, z) = z cdot (2, -1, 4) + (y - z) cdot (3, 0, 1) + (x - y) cdot (-1, 5, 1) , 2z + 3(y - z) - 1(x - y) = 2z + 3y - 3z - x + y = -x + 4y - z e -1z + 0(y - z) + 5(x - y) = -z + 5x - 5y :
4z + 1(y - z) + 1(x - y) = 4z + y - z + x - y = x + 3z
Vamos calcular cada componente:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Para a terceira coordenada:

Passo 9

Assim, combinando tudo, a fórmula para T(x, y, z) = (-x + 4y - z, -z + 5x - 5y, x + 3z) é:

Resposta

a) A fórmula para T(x, y, z) = (-x + 4y - z, -z + 5x - 5y, x + 3z) é:
T(2, 4, 1) = ( -2 + 4 cdot 4 - 1, -1 + 5 cdot 2 - 5 cdot 4, 2 + 3 cdot 1 )
b) Vamos agora calcular -2 + 16 - 1 = 13 usando a fórmula encontrada:
-1 + 10 - 20 = -11
Calculando cada componente:
Primeira coordenada:
2 + 3 = 5
Segunda coordenada:
T(2, 4, 1) = (13, -11, 5)
Terceira coordenada:
Então,

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