Justifique se as afirmaçōes abaixo sâo verdadeiras ou falsas, provando as ou fornecendo contra exemplo.
(b) Se
e
sāo vetores em
, linearmente dependentes, entāo qualquer um dos
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A afirmação que precisamos avaliar é:
(b) Se
e
são vetores em
, linearmente dependentes, então qualquer um dos
…
Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com dependência linear de vetores em um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como ela se aplica a vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores
e
são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Matematicamente, isso pode ser escrito como:
com pelo menos um dos
diferente de zero.
Passo 3
Agora, em
, se temos três vetores, eles podem ser linearmente independentes ou dependentes. Se forem independentes, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Porém, se forem dependentes, pelo menos um dos vetores pode ser expresso como combinação linear dos outros dois.
Passo 4
A afirmação diz que se os vetores são linearmente dependentes, então qualquer um dos
pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Vamos verificar isso.
Suponha que:
Sem perda de generalidade, suponha que
. Podemos rearranjar a equação para isolar
:
Isso mostra que
é uma combinação linear de
e
.
Passo 5
O mesmo raciocínio se aplica para qualquer outro vetor. Se, por exemplo,
, podemos isolar
:
E assim por diante para
, se
.
Passo 6
Portanto, sempre que os vetores são linearmente dependentes, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Isso confirma a afirmação inicial.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Em
, se três vetores são linearmente dependentes, qualquer um deles pode ser expresso como combinação linear dos outros dois.