Seja
dada por
.
Mostre que
é injetora.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
definida por
. O objetivo aqui é mostrar que essa função é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como podemos provar que uma função possui essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Ou seja, elementos diferentes de
têm imagens diferentes em
.
Passo 3
Então, para provar que
é injetora, vamos assumir que
e mostrar que isso leva à conclusão de que
e
devem ser iguais. Vamos começar igualando as expressões de
e
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Primeiro, vamos fazer um produto cruzado para eliminar as frações:
Expandindo ambos os lados:
Agora, observamos que o termo
aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:
Vamos agora trazer todos os termos que contêm
para um lado e os que contêm
para o outro:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 15:
Passo 5
Chegamos à conclusão de que
sempre que
. Isso significa que não existem dois valores diferentes de
e
que resultem na mesma imagem pela função
. Portanto,
é realmente uma função injetora.
Resposta
A função
é injetora.