Seja f: A [-9,-1) dada por f(x)=4 x+33-x.
Mostre que f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função definida por . O objetivo aqui é mostrar que essa função é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como podemos provar que uma função possui essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, elementos diferentes de têm imagens diferentes em .

Passo 3

Então, para provar que 4a + 33 - a = 4b + 33 - b é injetora, vamos assumir que e mostrar que isso leva à conclusão de que e devem ser iguais. Vamos começar igualando as expressões de e :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre (4a + 3)(3 - b) = (4b + 3)(3 - a) e 12a - 4ab + 9 - 3b = 12b - 4ab + 9 - 3a . Primeiro, vamos fazer um produto cruzado para eliminar as frações:
12a + 9 - 3b = 12b + 9 - 3a
Expandindo ambos os lados:
12a + 3a = 12b + 3b
Agora, observamos que o termo 15a = 15b aparece em ambos os lados e pode ser cancelado:
a = b
Vamos agora trazer todos os termos que contêm para um lado e os que contêm para o outro:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 15:

Passo 5

Chegamos à conclusão de que sempre que . Isso significa que não existem dois valores diferentes de e que resultem na mesma imagem pela função . Portanto, é realmente uma função injetora.

Resposta

A função é injetora.

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