Seja
dada por
.
É verdade que
é sobrejetora?
É verdade que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Temos uma função
definida por
. A questão pergunta se essa função é sobrejetora. Isso significa que precisamos verificar se todo valor no conjunto de chegada
é atingido por algum valor de
no domínio
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como determinar isso usando a expressão da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetora (ou sobrejetiva). Uma função
é sobrejetora se, para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
. Ou seja, a função cobre todo o conjunto de chegada.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
e verificar se, para todo
em
, existe um
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos resolver a equação
em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
:
Distribuindo
:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 5
Agora que temos
, precisamos garantir que para todo
em
, o valor de
seja válido no domínio
da função. Além disso, devemos verificar se a expressão está definida, ou seja, o denominador
não pode ser zero.
Passo 6
Verifiquemos se
para
:
Como
está dentro do intervalo
, precisamos verificar se
está realmente atingido pela função.
Passo 7
Substituindo
na equação original:
Resolvendo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso é uma contradição, o que significa que não existe
tal que
. Portanto,
não está no alcance da função.
Passo 8
Como existe pelo menos um valor em
que não é atingido pela função
, concluímos que
não é sobrejetora neste intervalo.
Resposta
Não, a função
não é sobrejetora.