Seja f: A [-9,-1) dada por f(x)=4 x+33-x.
É verdade que f é sobrejetora?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Temos uma função definida por . A questão pergunta se essa função é sobrejetora. Isso significa que precisamos verificar se todo valor no conjunto de chegada é atingido por algum valor de no domínio . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como determinar isso usando a expressão da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função sobrejetora (ou sobrejetiva). Uma função é sobrejetora se, para todo em , existe pelo menos um em tal que . Ou seja, a função cobre todo o conjunto de chegada.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função e verificar se, para todo em , existe um que satisfaz essa equação. Para isso, vamos resolver a equação em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a equação y(3 - x) = 4x + 3 :
3y - yx = 4x + 3
Distribuindo 3y - 3 = yx + 4x :
3(y - 1) = x(y + 4)
Agora, vamos reunir os termos com x = 3(y - 1)y + 4 de um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 5

Agora que temos , precisamos garantir que para todo em , o valor de seja válido no domínio da função. Além disso, devemos verificar se a expressão está definida, ou seja, o denominador não pode ser zero.

Passo 6

Verifiquemos se y + 4 = 0 Rightarrow y = -4 para :
Como está dentro do intervalo , precisamos verificar se está realmente atingido pela função.

Passo 7

Substituindo -4 = 4x + 33 - x na equação original:
-4(3 - x) = 4x + 3 Rightarrow -12 + 4x = 4x + 3
Resolvendo:
-12 = 3
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é uma contradição, o que significa que não existe tal que . Portanto, não está no alcance da função.

Passo 8

Como existe pelo menos um valor em que não é atingido pela função , concluímos que não é sobrejetora neste intervalo.

Resposta

Não, a função não é sobrejetora.

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