Encontre os valores de lambda tais que o sistema homogèneo (A-lambda I3) X=0 tem soluçāo nāo trivial e para cada um destes valores lambda calculados, encontre uma base ortonormal para o espaço soluçāo, em que
A=[ccc 0 & 0 & 1 1 & 0 & -3 0 & 1 & 3 ]

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem com que o sistema homogêneo tenha soluções não triviais. Isso significa que estamos procurando os valores próprios da matriz . Depois de achar esses , vamos precisar encontrar uma base ortonormal para o espaço das soluções, ou seja, para os vetores próprios correspondentes a cada .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico da matriz , que é dado por . Vou te mostrar como fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 0 - lambda & 0 & 1 1 & 0 - lambda & -3 0 & 1 & 3 - lambda = -lambda & 0 & 1 1 & -lambda & -3 0 & 1 & 3 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda cdot det -lambda & -3 1 & 3 - lambda - 0 cdot det 1 & -3 0 & 3 - lambda + 1 cdot det 1 & -lambda 0 & 1
Simplificando:
det(A - lambda I) = -lambda [(-lambda)(3 - lambda) - (-3)(1)] + 0 + 1 [1 cdot 1 - (-lambda)(0)] = -lambda [ -3lambda + lambda^2 + 3 ] + 1 cdot 1 = -lambda (lambda^2 - 3lambda + 3) + 1
= -lambda^3 + 3lambda^2 - 3lambda + 1

Passo 5

Para encontrar os valores de -lambda^3 + 3lambda^2 - 3lambda + 1 = 0 , resolvemos a equação característica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 3lambda - 1 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 6

Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando 1 - 3 + 3 - 1 = 0 :
lambda^3 - 3lambda^2 + 3lambda - 1 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda + 1) = (lambda - 1)^3
Então, lambda = 1 com mu é uma raiz. Podemos dividir o polinômio por :
Portanto, temos uma raiz tripla:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a A - I = -1 & 0 & 1 1 & -1 & -3 0 & 1 & 2 . Precisamos resolver .
Primeiro, calculamos :

Passo 8

Vamos montar o sistema de equações:
-1x + 0y + 1z = 0 1x - 1y - 3z = 0 0x + 1y + 2z = 0
Simplificando:
-x + z = 0 Rightarrow x = z x - y - 3z = 0 Rightarrow y = x - 3z y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z

Passo 9

Substituindo -2z = x - 3z Rightarrow x = z na equação x = z e y = -2z :
X = z 1 -2 1
Então, temos:
Vamos expressar os vetores próprios em termos de :

Passo 10

Precisamos encontrar uma base ortonormal para o espaço das soluções. Primeiro, normalizamos o vetor 1 -2 1 .
O comprimento do vetor é:
|X| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então, o vetor unitário é:
1raiz6 1 -2 1

Resposta

O valor de 1raiz6 1 -2 1 é . Uma base ortonormal para o espaço das soluções é:

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