Considere as base e de , em que e .
Encontre a matriz mudança da base para

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a matriz de mudança de base da base para a base no espaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar os vetores da base em termos da base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos passar da base para a base . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas do vetor na base , onde e . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, encontrando :
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, encontrando :
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Com as coordenadas encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de na base . Assim:

Resposta

A matriz de mudança da base para a base é:

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