Considere as base
e
de
, em que
e
.
Encontre a matriz mudança da base
para
Encontre a matriz mudança da base
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a matriz de mudança de base da base
para a base
no espaço
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar os vetores da base
em termos da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos passar da base
para a base
. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as coordenadas do vetor
na base
, onde
e
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, encontrando
:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, encontrando
:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 5
Com as coordenadas encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de
na base
. Assim:
Resposta
A matriz de mudança da base
para a base
é:
Exercícios relacionados
Use a densidade do óleo
, a viscosidade do ar
,
e
para calcular o raio da gota de óleo utilizando a lei de Stokes.
A matriz de mudança de uma base
do
para a base
desse mesmo espaço é:
Determinar a base B.
(a) Encontre a matriz de transição
por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
© Confirme que e
são inversas uma da outra.
(d) Seja . Encontre
e então use a Fórmula (11) para calcular
.
(e) Seja . Encontre
e então use a Fórmula (12) para calcular
.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição
© Confirme que
(d) Seja
(e) Seja
Um metal tem função trabalho igual a
. Qual é a menor frequência da luz incidente capaz de arrancar elétrons do metal?