Considere as base B=u1, u2 e C=v1, v2 de R^2, em que u1=(2,2), u2=(4,-1), v1=(1,3) e v2=(-1,-1).
Encontre a matriz mudança da base C para B

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a matriz de mudança de base da base C para a base B no espaço R^2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar os vetores da base C em termos da base B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos passar da base C para a base B. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base C como uma combinação linear dos vetores da base B.

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas do vetor v1 = (1,3) na base B = u1, u2, onde u1 = (2,2) e u2 = (4,-1). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
v1 = a u1 + b u2
Isso dá o sistema de equações:
2a + 4b = 1 2a - b = 3
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, da segunda equação:
2a - b = 3 implies b = 2a - 3
Substituindo na primeira equação:
2a + 4(2a - 3) = 1 2a + 8a - 12 = 1 10a = 13 a = 1310
Agora, encontrando b:
b = 2(1310) - 3 = 2610 - 3010 = -410 = -25
Então, as coordenadas de v1 na base B são (1310, -25).

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor v2 = (-1,-1). Queremos encontrar escalares c e d tais que:
v2 = c u1 + d u2
Isso resulta no sistema:
2c + 4d = -1 2c - d = -1
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
2c - d = -1 implies d = 2c + 1
Substituindo na primeira equação:
2c + 4(2c + 1) = -1 2c + 8c + 4 = -1 10c = -5 c = -12
Agora, encontrando d:
d = 2(-12) + 1 = -1 + 1 = 0
Então, as coordenadas de v2 na base B são (-12, 0).

Passo 5

Com as coordenadas encontradas, podemos montar a matriz de mudança de base. Cada coluna dessa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de C na base B. Assim:
PB C = 1310 & -12 -25 & 0

Resposta

A matriz de mudança da base C para a base B é:
PB C = 1310 & -12 -25 & 0

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