Use a densidade do óleo , a viscosidade do ar , e para calcular o raio da gota de óleo utilizando a lei de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que estamos enfrentando aqui. Temos uma gota de óleo com densidade , a viscosidade do ar é , um campo elétrico de e a aceleração da gravidade . Queremos descobrir o raio dessa gota de óleo usando a Lei de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como essas forças interagem na gota para equilibrar as forças de resistência devido à viscosidade do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Stokes. Ela nos diz que a força de arrasto ( ) sobre uma esfera pequena movendo-se em um fluido viscoso é dada por:
onde:
  • é a viscosidade do fluido,
  • é o raio da esfera,
  • é a velocidade da esfera.
Neste caso, a gota de óleo está suspensa no ar devido ao equilíbrio entre as forças de gravidade e a força elétrica, e a resistência do ar atua como a força de arrasto.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças atuantes na gota de óleo:
  1. Força gravitacional ( ): Essa é a força que puxa a gota para baixo devido à gravidade.
  1. Força elétrica ( ): Essa é a força que age sobre a gota devido ao campo elétrico.
onde é a carga da gota.
  1. Força de arrasto ( ): Essa é a força resistiva do ar que age contra o movimento da gota.
Como a gota está em equilíbrio, as forças para cima (força elétrica) e para baixo (força gravitacional) devem balancear a força de arrasto.

Passo 4

Assumindo que a gota não está se movendo, ou seja, está em equilíbrio estacionário, temos:
Portanto:
Queremos encontrar o raio , então precisamos isolar nessa equação. Porém, notamos que precisamos relacionar a carga com o raio. Se considerarmos que a carga da gota está relacionada ao campo elétrico e à força de arrasto, podemos combinar as equações para resolver .

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para resolver :
No entanto, ainda precisamos expressar em termos de . Se considerarmos que a gota está carregada de maneira que a quantidade de carga está relacionada ao seu tamanho, podemos definir:
onde é uma constante que depende de como a carga está distribuída na gota.
Para simplificar, vamos supor que a carga é proporcional ao raio , então podemos reescrever a equação para encontrar uma expressão direta para .

Passo 6

Substituindo na equação de :
Elevando ambos os lados ao cubo:
Simplificando:
Aqui, assumimos uma relação linear entre a carga e o raio, permitindo resolver para em termos das constantes fornecidas.

Passo 7

Ainda precisamos determinar a constante . No contexto da Lei de Stokes e equilíbrio de forças, a constante pode ser relacionada às propriedades elétricas da gota e do campo. Para simplificar e focar no cálculo do raio com os dados fornecidos, podemos assumir que a constante é tal que a equação anterior nos permite calcular diretamente .
Vamos reorganizar a equação original para isolarmos :
Como não temos o valor de , precisamos uma abordagem alternativa. Podemos considerar que a força de arrasto na velocidade terminal está equilibrando as forças de gravidade e elétrica, mas sem a velocidade não é possível prosseguir diretamente. Portanto, é provável que a questão simplifique para ignorar a carga e focar no equilíbrio entre força elétrica e gravitacional.

Passo 8

Considerando que a força elétrica equilibra a força gravitacional:
Se não temos o valor de , mas queremos expressar em termos das outras variáveis, precisamos de uma relação entre e . Supondo que a gota adquiriu uma carga proporcional ao seu raio, podemos definir uma relação empírica ou usar outros dados do problema. Contudo, com as informações fornecidas, falta a relação direta para prosseguir.
Para concluir, com as informações fornecidas, a expressão para o raio em termos da carga é:

Resposta

O raio da gota de óleo é dado por:
onde é a carga da gota, é o campo elétrico, é a densidade do óleo e é a aceleração da gravidade.

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Determinar a base B.
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Encontre a matriz mudança da base para
(a) Encontre a matriz de transição por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
© Confirme que e são inversas uma da outra.
(d) Seja . Encontre e então use a Fórmula (11) para calcular .
(e) Seja . Encontre e então use a Fórmula (12) para calcular .