Use a densidade do óleo
, a viscosidade do ar
,
e
para calcular o raio da gota de óleo utilizando a lei de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que estamos enfrentando aqui. Temos uma gota de óleo com densidade
, a viscosidade do ar é
, um campo elétrico de
e a aceleração da gravidade
. Queremos descobrir o raio dessa gota de óleo usando a Lei de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como essas forças interagem na gota para equilibrar as forças de resistência devido à viscosidade do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Stokes. Ela nos diz que a força de arrasto (
) sobre uma esfera pequena movendo-se em um fluido viscoso é dada por:
onde:
-
é a viscosidade do fluido, -
é o raio da esfera, -
é a velocidade da esfera.
Neste caso, a gota de óleo está suspensa no ar devido ao equilíbrio entre as forças de gravidade e a força elétrica, e a resistência do ar atua como a força de arrasto.
Passo 3
Agora, vamos identificar as forças atuantes na gota de óleo:
- Força gravitacional (
): Essa é a força que puxa a gota para baixo devido à gravidade.
- Força elétrica (
): Essa é a força que age sobre a gota devido ao campo elétrico.
onde
é a carga da gota.
- Força de arrasto (
): Essa é a força resistiva do ar que age contra o movimento da gota.
Como a gota está em equilíbrio, as forças para cima (força elétrica) e para baixo (força gravitacional) devem balancear a força de arrasto.
Passo 4
Assumindo que a gota não está se movendo, ou seja, está em equilíbrio estacionário, temos:
Portanto:
Queremos encontrar o raio
, então precisamos isolar
nessa equação. Porém, notamos que precisamos relacionar a carga
com o raio. Se considerarmos que a carga da gota está relacionada ao campo elétrico e à força de arrasto, podemos combinar as equações para resolver
.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
No entanto, ainda precisamos expressar
em termos de
. Se considerarmos que a gota está carregada de maneira que a quantidade de carga está relacionada ao seu tamanho, podemos definir:
onde
é uma constante que depende de como a carga está distribuída na gota.
Para simplificar, vamos supor que a carga
é proporcional ao raio
, então podemos reescrever a equação para encontrar uma expressão direta para
.
Passo 6
Substituindo
na equação de
:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Simplificando:
Aqui, assumimos uma relação linear entre a carga e o raio, permitindo resolver para
em termos das constantes fornecidas.
Passo 7
Ainda precisamos determinar a constante
. No contexto da Lei de Stokes e equilíbrio de forças, a constante pode ser relacionada às propriedades elétricas da gota e do campo. Para simplificar e focar no cálculo do raio com os dados fornecidos, podemos assumir que a constante
é tal que a equação anterior nos permite calcular diretamente
.
Vamos reorganizar a equação original para isolarmos
:
Como não temos o valor de
, precisamos uma abordagem alternativa. Podemos considerar que a força de arrasto na velocidade terminal está equilibrando as forças de gravidade e elétrica, mas sem a velocidade não é possível prosseguir diretamente. Portanto, é provável que a questão simplifique para ignorar a carga e focar no equilíbrio entre força elétrica e gravitacional.
Passo 8
Considerando que a força elétrica equilibra a força gravitacional:
Se não temos o valor de
, mas queremos expressar
em termos das outras variáveis, precisamos de uma relação entre
e
. Supondo que a gota adquiriu uma carga proporcional ao seu raio, podemos definir uma relação empírica ou usar outros dados do problema. Contudo, com as informações fornecidas, falta a relação direta para prosseguir.
Para concluir, com as informações fornecidas, a expressão para o raio
em termos da carga
é:
Resposta
O raio da gota de óleo é dado por:
onde
é a carga da gota,
é o campo elétrico,
é a densidade do óleo e
é a aceleração da gravidade.
Exercícios relacionados
A matriz de mudança de uma base
do
para a base
desse mesmo espaço é:
Determinar a base B.
Qual deve ser o valor de m para que os pontos
e
pertençam à mesma reta?
Considere as base
e
de
, em que
e
.
Encontre a matriz mudança da base para
Encontre a matriz mudança da base
(a) Encontre a matriz de transição
por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
© Confirme que e
são inversas uma da outra.
(d) Seja . Encontre
e então use a Fórmula (11) para calcular
.
(e) Seja . Encontre
e então use a Fórmula (12) para calcular
.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição
© Confirme que
(d) Seja
(e) Seja