Use a densidade do óleo rho=943 kg / m^3, a viscosidade do ar eta=1,824 times 10^-5 N s / m^2, E=2,5 times 10^6 V / m e g=9,81 m / s^2 para calcular o raio da gota de óleo utilizando a lei de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que estamos enfrentando aqui. Temos uma gota de óleo com densidade rho = 943 kg/m^3, a viscosidade do ar é eta = 1,824 times 10^-5 N cdot s/m^2, um campo elétrico de E = 2,5 times 10^6 V/m e a aceleração da gravidade g = 9,81 m/s^2. Queremos descobrir o raio dessa gota de óleo usando a Lei de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como essas forças interagem na gota para equilibrar as forças de resistência devido à viscosidade do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Stokes. Ela nos diz que a força de arrasto ( Fd) sobre uma esfera pequena movendo-se em um fluido viscoso é dada por:
Fd = 6 pi eta r v
onde:
  • eta é a viscosidade do fluido,
  • r é o raio da esfera,
  • v é a velocidade da esfera.
Neste caso, a gota de óleo está suspensa no ar devido ao equilíbrio entre as forças de gravidade e a força elétrica, e a resistência do ar atua como a força de arrasto.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças atuantes na gota de óleo:
  1. Força gravitacional ( Fg): Essa é a força que puxa a gota para baixo devido à gravidade.
Fg = 43 pi r^3 rho g
  1. Força elétrica ( Fe): Essa é a força que age sobre a gota devido ao campo elétrico.
Fe = q E
onde q é a carga da gota.
  1. Força de arrasto ( Fd): Essa é a força resistiva do ar que age contra o movimento da gota.
Fd = 6 pi eta r v
Como a gota está em equilíbrio, as forças para cima (força elétrica) e para baixo (força gravitacional) devem balancear a força de arrasto.

Passo 4

Assumindo que a gota não está se movendo, ou seja, está em equilíbrio estacionário, temos:
Fe = Fg
Portanto:
q E = 43 pi r^3 rho g
Queremos encontrar o raio r, então precisamos isolar r nessa equação. Porém, notamos que precisamos relacionar a carga q com o raio. Se considerarmos que a carga da gota está relacionada ao campo elétrico e à força de arrasto, podemos combinar as equações para resolver r.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para resolver r:
r^3 = 3 q E4 pi rho g
r = ( 3 q E4 pi rho g )^1/3
No entanto, ainda precisamos expressar q em termos de r. Se considerarmos que a gota está carregada de maneira que a quantidade de carga está relacionada ao seu tamanho, podemos definir:
q = C r
onde C é uma constante que depende de como a carga está distribuída na gota.
Para simplificar, vamos supor que a carga q é proporcional ao raio r, então podemos reescrever a equação para encontrar uma expressão direta para r.

Passo 6

Substituindo q = C r na equação de r:
r = ( 3 C r E4 pi rho g )^1/3
Elevando ambos os lados ao cubo:
r^3 = 3 C r E4 pi rho g
Simplificando:
r^2 = 3 C E4 pi rho g
r = raiz 3 C E4 pi rho g
Aqui, assumimos uma relação linear entre a carga e o raio, permitindo resolver para r em termos das constantes fornecidas.

Passo 7

Ainda precisamos determinar a constante C. No contexto da Lei de Stokes e equilíbrio de forças, a constante pode ser relacionada às propriedades elétricas da gota e do campo. Para simplificar e focar no cálculo do raio com os dados fornecidos, podemos assumir que a constante C é tal que a equação anterior nos permite calcular diretamente r.
Vamos reorganizar a equação original para isolarmos r:
r^3 = 3 q E4 pi rho g
Como não temos o valor de q, precisamos uma abordagem alternativa. Podemos considerar que a força de arrasto na velocidade terminal está equilibrando as forças de gravidade e elétrica, mas sem a velocidade não é possível prosseguir diretamente. Portanto, é provável que a questão simplifique para ignorar a carga e focar no equilíbrio entre força elétrica e gravitacional.

Passo 8

Considerando que a força elétrica equilibra a força gravitacional:
q E = 43 pi r^3 rho g
Se não temos o valor de q, mas queremos expressar r em termos das outras variáveis, precisamos de uma relação entre q e r. Supondo que a gota adquiriu uma carga proporcional ao seu raio, podemos definir uma relação empírica ou usar outros dados do problema. Contudo, com as informações fornecidas, falta a relação direta para prosseguir.
Para concluir, com as informações fornecidas, a expressão para o raio r em termos da carga q é:
r = ( 3 q E4 pi rho g )^1/3

Resposta

O raio da gota de óleo é dado por:
r = ( 3 q E4 pi rho g )^1/3
onde q é a carga da gota, E é o campo elétrico, rho é a densidade do óleo e g é a aceleração da gravidade.

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