A matriz de mudança de uma base do para a base desse mesmo espaço é:
Determinar a base B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa a mudança de uma base do para uma nova base . Nosso objetivo é descobrir qual é a base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . A matriz dada é:
Essa matriz nos diz como passar de para .

Passo 3

Para encontrar a base , precisamos achar os vetores de expressos na base padrão . Sabemos que a matriz de mudança de base relaciona as coordenadas de em . Então, para cada vetor da base , temos:

$$

$$
Onde são as coordenadas na base .

Passo 4

Vamos resolver para cada vetor da base . Suponha que . Então:

Para :
$$

$$
Como queremos que seja expresso na base padrão, vamos igualar a coordenadas.

Passo 5

Assumindo que na base , os vetores correspondentes são os vetores padrões, temos:
Para :
Então, .

Passo 6

Agora, para :

$$

$$
Novamente, igualando as coordenadas na base padrão.

Passo 7

Para :
Então, .

Resposta

A base é composta pelos vetores:

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Encontre a matriz mudança da base para