A matriz de mudança de uma base B do R^2 para a base (1,1),(0,2) desse mesmo espaço é:
(ll 1 & 0 2 & 3 )
Determinar a base B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa a mudança de uma base do para uma nova base . Nosso objetivo é descobrir qual é a base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e matrizes de transição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz de mudança de base transforma as coordenadas de um vetor na base M = 1 & 0 2 & 3 para as coordenadas na base . A matriz dada é:
Essa matriz nos diz como passar de para .

Passo 3

Para encontrar a base 1 & 0 2 & 3 b1 b2 = c1 c2 , precisamos achar os vetores de expressos na base padrão . Sabemos que a matriz de mudança de base relaciona as coordenadas de em . Então, para cada vetor da base , temos:

$$

$$
Onde são as coordenadas na base .

Passo 4

Vamos resolver para cada vetor da base 1 & 0 2 & 3 b11 b12 = 1 cdot b11 + 0 cdot b12 2 cdot b11 + 3 cdot b12 = c11 c21 . Suponha que . Então:

Para :
$$

$$
Como queremos que seja expresso na base padrão, vamos igualar a coordenadas.

Passo 5

Assumindo que na base 1 cdot b11 = 1 Rightarrow b11 = 1 , os vetores correspondentes são os vetores padrões, temos:
Para 2 cdot b11 + 3 cdot b12 = 1 Rightarrow 2 cdot 1 + 3 cdot b12 = 1 Rightarrow 3b12 = -1 Rightarrow b12 = -13 :
Então, .

Passo 6

Agora, para 1 & 0 2 & 3 b21 b22 = 1 cdot b21 + 0 cdot b22 2 cdot b21 + 3 cdot b22 = c12 c22 :

$$

$$
Novamente, igualando as coordenadas na base padrão.

Passo 7

Para 1 cdot b21 = 0 Rightarrow b21 = 0 :
2 cdot b21 + 3 cdot b22 = 2 Rightarrow 2 cdot 0 + 3 cdot b22 = 2 Rightarrow 3b22 = 2 Rightarrow b22 = 23
Então, .

Resposta

A base B = (1, -13), (0, 23) é composta pelos vetores:

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