(a) Encontre a matriz de transição PB S por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PS S.
© Confirme que PB S e PS B são inversas uma da outra.
(d) Seja w=(5,-3). Encontre [w]B e então use a Fórmula (11) para calcular [w]S.
(e) Seja w=(3,-5). Encontre [w]S e então use a Fórmula (12) para calcular [w]B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! O que precisamos fazer aqui envolve encontrar matrizes de transição entre diferentes bases e trabalhar com coordenadas de vetores nessas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de bases, matrizes de transição e como converter coordenadas de uma base para outra. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a matriz de transição por inspeção.

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Quando temos duas bases, e , a matriz de transição nos permite converter coordenadas de vetores expressos na base para a base .
Como encontrar por inspeção? Basicamente, observamos como os vetores da base são representados na base e organizamos esses vetores como colunas na matriz.

Passo 3

Como não temos as bases PB S = a & c b & d e especificadas no enunciado, vou presumir que são dadas ou que você já as conhece. Supondo que e , fazemos o seguinte:
  1. Expressar cada vetor de na base : Ou seja, encontrar coeficientes e tais que e .
  2. Organizar esses coeficientes em colunas: A primeira coluna será e a segunda .
Então, a matriz de transição fica:

Passo 4

Parte (b): Usar a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição PS S = I = 1 & 0 0 & 1 .

Assumindo que a Fórmula (14) refere-se a uma propriedade específica das matrizes de transição, geralmente, a matriz de transição de uma base para ela mesma é a matriz identidade.
Portanto:

Passo 5

Parte ©: Confirmar que PB S times PS B = I e PS B = (PB S)^-1 são inversas uma da outra.

Isso significa que multiplicar por deve resultar na matriz identidade.
Passos:
  1. Calcular :
  1. Isso confirma que é a inversa de :

Passo 6

Parte (d): Seja 5 -3 . Encontrar w = xb1 + yb2 e então usar a Fórmula (11) para calcular [w]S = PB S [w]B .

Passo 1: Encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Isso envolve resolver a equação:
onde e são as coordenadas na base .
Passo 2: Usar a Fórmula (11), que provavelmente é a transformação de coordenadas:

Passo 7

Parte (e): Seja 3 -5 . Encontrar w = us1 + vs2 e então usar a Fórmula (12) para calcular [w]B = PS B [w]S .

Passo 1: Encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Isso envolve resolver a equação:
onde e são as coordenadas na base .
Passo 2: Usar a Fórmula (12), que deve ser a transformação inversa:

Resposta

Finalizando, encontramos as seguintes soluções para o exercício:
a) A matriz de transição PB S = a & c b & d é:
PS S = 1 & 0 0 & 1
onde PB S times PS B = I são os coeficientes encontrados por inspeção.
b) A matriz de transição 5 -3 é a matriz identidade:
[w]B = x y
c) Confirmamos que [w]S = PB S [w]B e 3 -5 são inversas uma da outra, ou seja:
[w]S = u v
d) Para [w]B = PS B [w]S :
e então,
e) Para :
e então,
Observação: Para valores numéricos específicos, precisamos das bases e concretas ou dos coeficientes . Com esses dados, podemos calcular os valores exatos das matrizes e das coordenadas dos vetores.

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