(a) Encontre a matriz de transição
por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição
.
© Confirme que
e
são inversas uma da outra.
(d) Seja
. Encontre
e então use a Fórmula (11) para calcular
.
(e) Seja
. Encontre
e então use a Fórmula (12) para calcular
.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição
© Confirme que
(d) Seja
(e) Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! O que precisamos fazer aqui envolve encontrar matrizes de transição entre diferentes bases e trabalhar com coordenadas de vetores nessas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de bases, matrizes de transição e como converter coordenadas de uma base para outra. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a matriz de transição
por inspeção.
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Quando temos duas bases,
e
, a matriz de transição
nos permite converter coordenadas de vetores expressos na base
para a base
.
Como encontrar por inspeção? Basicamente, observamos como os vetores da base
são representados na base
e organizamos esses vetores como colunas na matriz.
Passo 3
Como não temos as bases
e
especificadas no enunciado, vou presumir que são dadas ou que você já as conhece. Supondo que
e
, fazemos o seguinte:
-
Expressar cada vetor de
na base : Ou seja, encontrar coeficientes e tais que e . -
Organizar esses coeficientes em colunas: A primeira coluna será
e a segunda .
Então, a matriz de transição
fica:
Passo 4
Parte (b): Usar a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição
.
Assumindo que a Fórmula (14) refere-se a uma propriedade específica das matrizes de transição, geralmente, a matriz de transição de uma base para ela mesma é a matriz identidade.
Portanto:
Passo 5
Parte ©: Confirmar que
e
são inversas uma da outra.
Isso significa que multiplicar
por
deve resultar na matriz identidade.
Passos:
- Calcular
:
- Isso confirma que
é a inversa de :
Passo 6
Parte (d): Seja
. Encontrar
e então usar a Fórmula (11) para calcular
.
Passo 1: Encontrar as coordenadas de
na base
, ou seja,
.
Isso envolve resolver a equação:
onde
e
são as coordenadas na base
.
Passo 2: Usar a Fórmula (11), que provavelmente é a transformação de coordenadas:
Passo 7
Parte (e): Seja
. Encontrar
e então usar a Fórmula (12) para calcular
.
Passo 1: Encontrar as coordenadas de
na base
, ou seja,
.
Isso envolve resolver a equação:
onde
e
são as coordenadas na base
.
Passo 2: Usar a Fórmula (12), que deve ser a transformação inversa:
Resposta
Finalizando, encontramos as seguintes soluções para o exercício:
a) A matriz de transição
é:
onde
são os coeficientes encontrados por inspeção.
b) A matriz de transição
é a matriz identidade:
c) Confirmamos que
e
são inversas uma da outra, ou seja:
d) Para
:
e então,
e) Para
:
e então,
Observação: Para valores numéricos específicos, precisamos das bases
e
concretas ou dos coeficientes
. Com esses dados, podemos calcular os valores exatos das matrizes e das coordenadas dos vetores.
Exercícios relacionados
Considere as base
e
de
, em que
e
.
Encontre a matriz mudança da base para
Encontre a matriz mudança da base
Use a densidade do óleo
, a viscosidade do ar
,
e
para calcular o raio da gota de óleo utilizando a lei de Stokes.
Um metal tem função trabalho igual a
. Qual é a menor frequência da luz incidente capaz de arrancar elétrons do metal?
Sejam
a base canônica de
a base dada por
e
.
(a) Encontre a matriz de transição por inspeção.
(a) Encontre a matriz de transição