(a) Encontre a matriz de transição por inspeção.
(b) Use a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
© Confirme que e são inversas uma da outra.
(d) Seja . Encontre e então use a Fórmula (11) para calcular .
(e) Seja . Encontre e então use a Fórmula (12) para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! O que precisamos fazer aqui envolve encontrar matrizes de transição entre diferentes bases e trabalhar com coordenadas de vetores nessas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de bases, matrizes de transição e como converter coordenadas de uma base para outra. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a matriz de transição por inspeção.

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Quando temos duas bases, e , a matriz de transição nos permite converter coordenadas de vetores expressos na base para a base .
Como encontrar por inspeção? Basicamente, observamos como os vetores da base são representados na base e organizamos esses vetores como colunas na matriz.

Passo 3

Como não temos as bases e especificadas no enunciado, vou presumir que são dadas ou que você já as conhece. Supondo que e , fazemos o seguinte:
  1. Expressar cada vetor de na base : Ou seja, encontrar coeficientes e tais que e .
  2. Organizar esses coeficientes em colunas: A primeira coluna será e a segunda .
Então, a matriz de transição fica:

Passo 4

Parte (b): Usar a Fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .

Assumindo que a Fórmula (14) refere-se a uma propriedade específica das matrizes de transição, geralmente, a matriz de transição de uma base para ela mesma é a matriz identidade.
Portanto:

Passo 5

Parte ©: Confirmar que e são inversas uma da outra.

Isso significa que multiplicar por deve resultar na matriz identidade.
Passos:
  1. Calcular :
  1. Isso confirma que é a inversa de :

Passo 6

Parte (d): Seja . Encontrar e então usar a Fórmula (11) para calcular .

Passo 1: Encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Isso envolve resolver a equação:
onde e são as coordenadas na base .
Passo 2: Usar a Fórmula (11), que provavelmente é a transformação de coordenadas:

Passo 7

Parte (e): Seja . Encontrar e então usar a Fórmula (12) para calcular .

Passo 1: Encontrar as coordenadas de na base , ou seja, .
Isso envolve resolver a equação:
onde e são as coordenadas na base .
Passo 2: Usar a Fórmula (12), que deve ser a transformação inversa:

Resposta

Finalizando, encontramos as seguintes soluções para o exercício:
a) A matriz de transição é:
onde são os coeficientes encontrados por inspeção.
b) A matriz de transição é a matriz identidade:
c) Confirmamos que e são inversas uma da outra, ou seja:
d) Para :
e então,
e) Para :
e então,
Observação: Para valores numéricos específicos, precisamos das bases e concretas ou dos coeficientes . Com esses dados, podemos calcular os valores exatos das matrizes e das coordenadas dos vetores.

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(a) Encontre a matriz de transição por inspeção.