Considere as base B=u1, u2 e C=v1, v2 de R^2, em que u1=(2,2), u2=(4,-1), v1=(1,3) e v2=(-1,-1).
Calcule o vetor de coordenada [w]B, em que w=(3,-5).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as coordenadas do vetor w = (3, -5) na base B = u1, u2, onde u1 = (2, 2) e u2 = (4, -1). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de bases e coordenadas de vetores. Precisaremos escrever w como uma combinação linear dos vetores da base B.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que w pode ser escrito como:
w = a u1 + b u2
onde a e b são escalares que queremos encontrar.

Passo 3

Substituindo os valores dos vetores da base, temos:
(3, -5) = a (2, 2) + b (4, -1)

Passo 4

Agora, vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
(3, -5) = (2a, 2a) + (4b, -b)

Passo 5

Somando os componentes correspondentes dos vetores, obtemos um sistema de equações:
2a + 4b = 3 2a - b = -5

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
2a - b = -5 Rightarrow b = 2a + 5

Passo 7

Substituímos b na primeira equação:
2a + 4(2a + 5) = 3 2a + 8a + 20 = 3 10a + 20 = 3

Passo 8

Resolvendo para a:
10a = 3 - 20 10a = -17 a = -1710

Passo 9

Agora, substituímos o valor de a para encontrar b:
b = 2(-1710) + 5 b = -3410 + 5010 b = 1610 b = 85

Resposta

O vetor de coordenadas [w]B é:
[w]B = (-1710, 85)

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