Determinar os valores de m para os quais o sistema é determinado:
rr x+2 y-2 z-t=1 2 x-2 y-2 z-3 t= & -1 2 x-2 y-z-5 t= & 9 3 x-y+z-m t= & 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de que fazem o sistema ser determinado. Um sistema é determinado quando ele tem uma única solução. Para isso, precisamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente trabalhando com determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis 1 & 2 & -2 & -1 2 & -2 & -2 & -3 2 & -2 & -1 & -5 3 & -1 & 1 & -m e em cada equação:

Passo 3

Para que o sistema seja determinado, o determinante dessa matriz precisa ser diferente de zero ( ). Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Calculamos o determinante da matriz 4x4 expandindo por cofactores. É um pouco trabalhoso, mas vamos seguir passo a passo.
det = 1 cdot -2 & -2 & -3 -2 & -1 & -5 -1 & 1 & -m - 2 cdot 2 & -2 & -3 2 & -1 & -5 3 & 1 & -m + (-2) cdot 2 & -2 & -3 2 & -1 & -5 3 & 1 & -m -1 cdot 2 & -2 & -2 2 & -1 & -1 3 & 1 & 1

Passo 5

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro menor:
-2 & -2 & -3 -2 & -1 & -5 -1 & 1 & -m = (-2)((-1)(-m) - (-5)(1)) - (-2)((-2)(-m) - (-5)(-1)) + (-3)((-2)(1) - (-1)(-1))
Simplificando:
=-2(m + 5) - (-2)(2m -5) -3(-2 -1) = -2m -10 +4m -10 +9 = 2m -11
  1. Segundo menor:
2 & -2 & -3 2 & -1 & -5 3 & 1 & -m = 2((-1)(-m) - (-5)(1)) - (-2)(2(-m) - (-5)(3)) + (-3)(2(1) - (-1)(3))
Simplificando:
=2(m +5) +2(-2m +15) -3(2 +3) = 2m +10 -4m +30 -15 = -2m +25
  1. Terceiro menor:
2 & -2 & -3 2 & -1 & -5 3 & 1 & -m = Mesmo que o segundo menor, então -2m +25 ã
  1. Quarto menor:
2 & -2 & -2 2 & -1 & -1 3 & 1 & 1 = 2((-1)(1) - (-1)(1)) - (-2)(2(1) - (-1)(3)) + (-2)(2(1) - (-1)(3))
Simplificando:
=2( -1 +1 ) +2(2 +3) -2(2 +3) = 0 +10 -10 = 0

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos menores na expressão do determinante:
det = 1 cdot (2m -11) - 2 cdot (-2m +25) -2 cdot (-2m +25) -1 cdot 0
Simplificando:
det = 2m -11 +4m -50 +4m -50 +0 = (2m +4m +4m) + (-11 -50 -50) = 10m -111

Passo 7

Para o sistema ser determinado, o determinante não pode ser zero:
10m -111 neq 0
Resolvendo para 10m neq 111 m neq 11110 m neq 11,1 :

Resposta

O sistema é determinado para todo valor de , exceto quando .

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