Considere as base B=u1, u2 e C=v1, v2 de R^2, em que u1=(2,2), u2=(4,-1), v1=(1,3) e v2=(-1,-1).
Encontre a matriz mudança da base B para C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas bases, B e C, no espaço R^2. Cada base é um conjunto de vetores que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas de B para C. Para isso, vamos precisar entender como os vetores de uma base se expressam na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de B para C é uma matriz que, quando multiplicada por um vetor coordenado na base B, dá as coordenadas desse vetor na base C. Symbolicamente, se PB to C é a matriz que buscamos, então:
[x]C = PB to C [x]B

Passo 3

Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como os vetores da base B se expressam na base C. Ou seja, vamos escrever cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C.
Vamos chamar os vetores de B de u1 = (2, 2) e u2 = (4, -1), e os de C de v1 = (1, 3) e v2 = (-1, -1).

Passo 4

Vamos começar com u1 = (2, 2). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
u1 = a v1 + b v2
Substituindo os valores dos vetores:
(2, 2) = a(1, 3) + b(-1, -1)
Isso gera o sistema de equações:
1a - 1b = 2 3a - 1b = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema para a e b:
Da primeira equação: a - b = 2 Rightarrow a = b + 2
Substituindo na segunda equação:
3(b + 2) - b = 2 Rightarrow 3b + 6 - b = 2 Rightarrow 2b = -4 Rightarrow b = -2
Então, a = -2 + 2 = 0
Portanto, u1 = 0 v1 -2 v2

Passo 6

Agora, fazemos o mesmo para u2 = (4, -1):
u2 = c v1 + d v2
Substituindo:
(4, -1) = c(1, 3) + d(-1, -1)
Sistema de equações:
1c - 1d = 4 3c - 1d = -1

Passo 7

Resolvendo o sistema para c e d:
Da primeira equação: c - d = 4 Rightarrow c = d + 4
Substituindo na segunda equação:
3(d + 4) - d = -1 Rightarrow 3d + 12 - d = -1 Rightarrow 2d = -13 Rightarrow d = -132
Então, c = -132 + 4 = -132 + 82 = -52
Portanto, u2 = -52 v1 -132 v2

Passo 8

Agora que temos as expressões de u1 e u2 em termos de C, podemos montar a matriz de mudança de base PB to C colocando os coeficientes encontrados como colunas:
PB to C = 0 & -dfrac52 -2 & -dfrac132

Resposta

A matriz de mudança da base B para C é:
PB to C = 0 & -dfrac52 -2 & -dfrac132

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