Considere as base e de , em que e .
Encontre a matriz mudança da base para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas bases, e , no espaço . Cada base é um conjunto de vetores que “geram” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas de para . Para isso, vamos precisar entender como os vetores de uma base se expressam na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de mudança de base de para é uma matriz que, quando multiplicada por um vetor coordenado na base , dá as coordenadas desse vetor na base . Symbolicamente, se é a matriz que buscamos, então:
Passo 3
Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como os vetores da base se expressam na base . Ou seja, vamos escrever cada vetor de como combinação linear dos vetores de .
Vamos chamar os vetores de de e , e os de de e .
Passo 4
Vamos começar com . Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os valores dos vetores:
Isso gera o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema para e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
Passo 6
Agora, fazemos o mesmo para :
Substituindo:
Sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema para e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Portanto,
Passo 8
Agora que temos as expressões de e em termos de , podemos montar a matriz de mudança de base colocando os coeficientes encontrados como colunas: