Resolver os sistemas homogêneos abaixo: lx+y+z+w-t=0 x-y-z+2 w-t=

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você tem aí. Você precisa resolver um sistema de equações homogêneas, ou seja, todas igualadas a zero. As equações são:
x + y + z + w - t = 0 x - y - z + 2w - t = 0
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e solução de sistemas homogêneos. Nosso objetivo é encontrar os valores das variáveis e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema. Podemos fazer isso subtraindo uma equação da outra para eliminar algumas variáveis. Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(x + y + z + w - t) - (x - y - z + 2w - t) = 0 - 0

Passo 3

Simplificando a expressão acima:
x + y + z + w - t - x + y + z - 2w + t = 0
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
( x - x ) + ( y + y ) + ( z + z ) + ( w - 2w ) + ( -t + t ) = 0
Isso reduz para:
2y + 2z - w = 0

Passo 4

Agora, temos uma equação mais simples:
2y + 2z - w = 0
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para w = 2y + 2z :

Passo 5

Vamos substituir x + y + z + w - t = 0 de volta na primeira equação original para encontrar uma relação entre as outras variáveis. A primeira equação é:
x + y + z + (2y + 2z) - t = 0
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação:
x + y + z + 2y + 2z - t = 0
Combinando termos semelhantes:
x + 3y + 3z - t = 0

Passo 7

Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos x = -3y - 3z + t :

Passo 8

Até agora, conseguimos expressar y = a, z = b, t = c e em termos de e . Como temos mais variáveis do que equações, podemos atribuir valores livres a e . Vamos definir:
Onde são quaisquer números reais.

Passo 9

Agora, substituímos esses valores nas expressões que encontramos para x = -3a - 3b + c e w = 2a + 2b :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = -3a - 3b + c y = a z = b w = 2a + 2b t = c
Onde são números reais quaisquer. Isso significa que todas as soluções do sistema podem ser obtidas variando os valores de e .

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