Sejam e . Obtenha o vértice do paralelogramo ABDC. Determine os vetores com as dire föes das diagonais do paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A parada é encontrar o ponto que forma um paralelogramo com esses pontos, ou seja, é um paralelogramo. Além disso, vamos determinar os vetores que representam as diagonais desse paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores no espaço tridimensional. Precisamos entender como os vetores funcionam e como eles se relacionam dentro de um paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto de interseção das diagonais é o ponto médio de cada diagonal. Então, se considerarmos as diagonais e , o ponto de interseção será o mesmo ponto médio para ambas.
Vamos calcular o ponto médio da diagonal . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :
Passo 3
Agora que temos o ponto médio , sabemos que ele também é o ponto médio da diagonal . Vamos usar isso para encontrar as coordenadas de .
Sabemos as coordenadas de e que é o ponto médio entre e . Usando a mesma fórmula do ponto médio, podemos montar as equações:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos resolver cada equação para encontrar , e :
Para :
Para :
Para :
Então, .
Passo 5
Agora que temos todas as coordenadas dos quatro pontos , , e , vamos determinar os vetores das diagonais do paralelogramo.
As diagonais são os vetores que ligam os vértices opostos do paralelogramo. No nosso caso, as diagonais são e .
Para encontrar o vetor entre dois pontos e , usamos: