Sejam A=(1,2,-3), B=(3,-2,0) e C=(-2,5,3). Obtenha o vértice D do paralelogramo ABDC. Determine os vetores com as dire föes das diagonais do paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A parada é encontrar o ponto que forma um paralelogramo com esses pontos, ou seja, é um paralelogramo. Além disso, vamos determinar os vetores que representam as diagonais desse paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores no espaço tridimensional. Precisamos entender como os vetores funcionam e como eles se relacionam dentro de um paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto de interseção das diagonais é o ponto médio de cada diagonal. Então, se considerarmos as diagonais M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e M = ( 1 + (-2)2, 2 + 52, -3 + 32 ) = ( -12, 72, 0 ) , o ponto de interseção será o mesmo ponto médio para ambas.
Vamos calcular o ponto médio da diagonal . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :

Passo 3

Agora que temos o ponto médio Mx = Bx + Dx2 My = By + Dy2 Mz = Bz + Dz2 , sabemos que ele também é o ponto médio da diagonal -12 = 3 + Dx2 72 = -2 + Dy2 0 = 0 + Dz2 . Vamos usar isso para encontrar as coordenadas de .
Sabemos as coordenadas de e que é o ponto médio entre e . Usando a mesma fórmula do ponto médio, podemos montar as equações:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos resolver cada equação para encontrar -12 = 3 + Dx2 -1 = 3 + Dx Dx = -1 - 3 Dx = -4 , 72 = -2 + Dy2 7 = -2 + Dy Dy = 7 + 2 Dy = 9 e 0 = 0 + Dz2 0 = Dz Dz = 0 :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, .

Passo 5

Agora que temos todas as coordenadas dos quatro pontos PQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) , , e , vamos determinar os vetores das diagonais do paralelogramo.
As diagonais são os vetores que ligam os vértices opostos do paralelogramo. No nosso caso, as diagonais são e .
Para encontrar o vetor entre dois pontos e , usamos:

Passo 6

Vamos calcular cada vetor diagonal:
  1. Vetor AC = (-2 - 1, 5 - 2, 3 - (-3)) = (-3, 3, 6) :
BD = (-4 - 3, 9 - (-2), 0 - 0) = (-7, 11, 0)
  1. Vetor :

Resposta

O vértice do paralelogramo é . As diagonais do paralelogramo são os vetores e .

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