Seja V o conjunto de todas matrizes da forma (cca & 1 1 & b) com a, b in R. Defimanos:
(cc a & 1 1 & b )+(cc c & 1 1 & d )=(rc a+c & 1 1 & b+d ) e alpha(cc a & 1 1 & b )=(cc alpha a & 1 1 & alpha b ) com alpha in R
Verifique se V é ou não um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto a & 1 1 & b que consiste em todas as matrizes do tipo:
onde e são números reais. A questão quer saber se é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre é um conjunto onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar (número real), e isso sempre vai resultar em outro vetor dentro desse conjunto. Além disso, certas propriedades devem ser verdadeiras, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos aditivos, a comutatividade e associatividade da adição, entre outras.

Passo 3

Vamos analisar a adição definida no conjunto a & 1 1 & b + c & 1 1 & d = a + c & 1 1 & b + d :
Aqui, estamos somando os elementos com e com , mas os elementos fora dessas posições (as que estão como 1) permanecem iguais. Para que seja um espaço vetorial, essa operação de adição precisa sempre resultar em uma matriz que também está em .

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação por um escalar alpha a & 1 1 & b = alpha a & 1 1 & alpha b :
Nesse caso, estamos multiplicando apenas os elementos e por , mas os elementos que estão como 1 não são afetados. Para ser um espaço vetorial, a multiplicação por qualquer escalar também deveria resultar em uma matriz que pertence a .

Passo 5

Vamos verificar se o conjunto a + c & 1 1 & b + d satisfaz os requisitos de um espaço vetorial:
  1. Fechamento pela adição: A soma de duas matrizes em alpha a & 1 1 & alpha b resulta em:
Essa matriz ainda tem o mesmo formato, então está em . Ok até aqui.
  1. Fechamento pela multiplicação por escalar: Ao multiplicar uma matriz de por um escalar , obtemos:
Mas, para que essa matriz esteja em , os elementos que não estão nos e precisariam ser afetados pela multiplicação. Como os 1’s não mudam, a matriz resultante não está no formato definido para , a menos que .

Passo 6

Como a multiplicação por escalar não mantém os elementos fixos (os 1’s não são escalados), a operação de multiplicação por escalar não respeita as regras de um espaço vetorial. Isso significa que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, o conjunto não é um espaço vetorial sobre , porque não satisfaz a condição de fechamento pela multiplicação por escalar.

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