Considere a base do e a transformação linear dada pela matriz
Determine os autoespaços de L a partir dessa matriz e selecione, se possível, autovetores de L para construir uma base do R^3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base [L]beta^beta = 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 para o espaço e uma transformação linear representada pela matriz:
Nosso objetivo é encontrar os autoespaços de e, se possível, selecionar autovetores que formem uma base para . Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores e autoespaços, além de saber como calcular esses elementos a partir da matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovalor [L]beta^beta - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda de uma transformação linear det([L]beta^beta - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) é um número tal que existe um vetor não nulo (2 - lambda)(1 - lambda)(2 - lambda) = 0 (o autovetor) que satisfaz lambda1 = 1, lambda2 = 2 . O autoespaço associado a é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a , junto com o vetor zero.
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá os autovalores:
Observamos que tem multiplicidade geométrica 2 e tem multiplicidade geométrica 1.
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores para cada um deles.
Da primeira equação, temos e da terceira, . Então, os autovetores associados a são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de .
Para :
Substituímos na equação :
Isso resulta no sistema:
Da primeira equação, , e as outras equações não impõem restrições adicionais. Portanto, os autovetores associados a são da forma , ou seja, qualquer combinação linear de e .
Passo 4
Agora, vamos identificar os autoespaços.
Autoespaço para E1 = span(-1, 1, 0) :
É o conjunto de todos os múltiplos de E2 = span(1, 0, 0), (0, 0, 1) . Ou seja,
Autoespaço para :
É o conjunto de todas as combinações lineares de e . Ou seja,
Passo 5
Por fim, vamos verificar se os autovetores que encontramos formam uma base para -1, 1, 0, (1, 0, 0), (0, 0, 1) .
Temos três vetores:
-1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o determinante:
-1 times (0 times 1 - 0 times 0) - 1 times (1 times 1 - 0 times 0) + 0 times (1 times 0 - 0 times 1) = -1(0) -1(1) + 0 = -1
O determinante dessa matriz é:
Como o determinante é diferente de zero (), os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .