Determine a matriz da transformação linear que leva o subespaço no subspaço e o núcleo de é exatamente .
Passo 1
Vamos resolver um problema de Transformação Linear em Álgebra Linear. Precisamos encontrar a matriz de uma transformação linear que transforma um subespaço em outro subespaço e cujo núcleo é exatamente . Para isso, vamos usar conceitos como subespaços, núcleo de uma transformação e matrizes de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os subespaços e . O subespaço é definido por:
Isso significa que em , as componentes e são determinadas por e , respectivamente.
Passo 3
O subespaço é definido por:
Aqui, as componentes e são determinadas por e , respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos entender o núcleo da transformação , que é dado por . O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
No nosso caso, , que é o complemento ortogonal de .
Passo 5
Para encontrar a matriz de , vamos seguir os seguintes passos:
Encontrar uma base para .
Encontrar uma base para .
Determinar a ação de nesses vetores da base.
Representar como uma matriz usando essas ações.
Passo 6
Primeiro, encontramos uma base para . Como é definido por e , podemos expressar todos os vetores de em termos de e :
Assim, uma base para é:
Passo 7
Em seguida, encontramos uma base para v = (3y, y, z, 2z) = y(3, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 2) . 3 1 0 0 , 0 0 1 2 é definido por e , então podemos expressar todos os vetores de em termos de e :
Portanto, uma base para é:
Passo 8
Agora, determinamos como a transformação T( 1 2 0 0 ) = 3 1 0 0 atua nos vetores da base de T( 0 0 3 1 ) = 0 0 1 2 . Como mapeia para , podemos definir:
Passo 9
Para completar a definição de , precisamos determinar como ela age em outros vetores que não estão em . Sabemos que o núcleo de é , o que significa que para todos os . Assim, os vetores em serão mapeados para o vetor zero.
Passo 10
Finalmente, representamos T = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 13 & 1 & 0 0 & 23 & 2 & 0 como uma matriz . Sabendo como atua nas bases de e considerando que os vetores em são mapeados para zero, a matriz de será:
Resposta
A matriz da transformação linear T = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 13 & 1 & 0 0 & 23 & 2 & 0 é: