Determine a matriz da transformação linear T: R^4 mapsto R^4 que leva o subespaço W1=(x, y, z, t) in R^4 ; y-2 x=0 e z-3 t=0 no subspaço W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-3 y=0 e t-2 z=0 e o núcleo de T é exatamente W^perp.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Transformação Linear em Álgebra Linear. Precisamos encontrar a matriz de uma transformação linear que transforma um subespaço em outro subespaço e cujo núcleo é exatamente . Para isso, vamos usar conceitos como subespaços, núcleo de uma transformação e matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os subespaços W1 = (x, y, z, t) in R^4 ;|; y - 2x = 0 e z - 3t = 0 e . O subespaço é definido por:
Isso significa que em , as componentes e são determinadas por e , respectivamente.

Passo 3

O subespaço W2 = (x, y, z, t) in R^4 ;|; x - 3y = 0 e t - 2z = 0 é definido por:
Aqui, as componentes e são determinadas por e , respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos entender o núcleo da transformação Ker(T) = v in R^4 ;|; T(v) = 0 , que é dado por . O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero:
No nosso caso, , que é o complemento ortogonal de .

Passo 5

Para encontrar a matriz de , vamos seguir os seguintes passos:
  1. Encontrar uma base para .
  2. Encontrar uma base para .
  3. Determinar a ação de nesses vetores da base.
  4. Representar como uma matriz usando essas ações.

Passo 6

Primeiro, encontramos uma base para v = (x, 2x, 3t, t) = x(1, 2, 0, 0) + t(0, 0, 3, 1) . Como 1 2 0 0 , 0 0 3 1 é definido por e , podemos expressar todos os vetores de em termos de e :
Assim, uma base para é:

Passo 7

Em seguida, encontramos uma base para v = (3y, y, z, 2z) = y(3, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 2) . 3 1 0 0 , 0 0 1 2 é definido por e , então podemos expressar todos os vetores de em termos de e :
Portanto, uma base para é:

Passo 8

Agora, determinamos como a transformação T( 1 2 0 0 ) = 3 1 0 0 atua nos vetores da base de T( 0 0 3 1 ) = 0 0 1 2 . Como mapeia para , podemos definir:

Passo 9

Para completar a definição de , precisamos determinar como ela age em outros vetores que não estão em . Sabemos que o núcleo de é , o que significa que para todos os . Assim, os vetores em serão mapeados para o vetor zero.

Passo 10

Finalmente, representamos T = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 13 & 1 & 0 0 & 23 & 2 & 0 como uma matriz . Sabendo como atua nas bases de e considerando que os vetores em são mapeados para zero, a matriz de será:

Resposta

A matriz da transformação linear T = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 13 & 1 & 0 0 & 23 & 2 & 0 é:

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