Considere u=(1,1,0) e pi=L(1,2,0),(0,3,4). Escreva u=x+y onde x in W e y é ortogonal a W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa decompor o vetor u = (1,1,0) em duas partes: x que está no plano pi gerado pelos vetores (1,2,0) e (0,3,4), e y que é ortogonal a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como projeção de vetores em subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano pi. Esse plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores (1,2,0) e (0,3,4). Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser escrito como a(1,2,0) + b(0,3,4), onde a e b são números reais.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a projeção do vetor u nesse plano pi. A projeção é o vetor mais próximo de u que está dentro do plano. Para fazer isso, vamos considerar a base formada por (1,2,0) e (0,3,4) e montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes a e b que nos dão a projeção x.

Passo 4

Vamos escrever x = a(1,2,0) + b(0,3,4) = (a, 2a + 3b, 4b). Queremos que o vetor y = u - x seja ortogonal ao plano, ou seja, ortogonal a ambos os vetores que geram o plano. Isso nos dá duas equações:
  1. (u - x) cdot (1,2,0) = 0
  2. (u - x) cdot (0,3,4) = 0

Passo 5

Vamos expandir as equações:
  1. (1 - a, 1 - 2a - 3b, 0 - 4b) cdot (1,2,0) = (1 - a) cdot 1 + (1 - 2a - 3b) cdot 2 + ( -4b) cdot 0 = 0
    Simplificando: 1 - a + 2(1 - 2a - 3b) = 0 Rightarrow 1 - a + 2 - 4a - 6b = 0 Rightarrow 3 - 5a - 6b = 0
  2. (1 - a, 1 - 2a - 3b, -4b) cdot (0,3,4) = (1 - a) cdot 0 + (1 - 2a - 3b) cdot 3 + (-4b) cdot 4 = 0
    Simplificando: 3(1 - 2a - 3b) - 16b = 0 Rightarrow 3 - 6a - 9b - 16b = 0 Rightarrow 3 - 6a - 25b = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
  1. 3 - 5a - 6b = 0
  2. 3 - 6a - 25b = 0
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3 - 6a - 25b) - (3 - 5a - 6b) = 0 Rightarrow -a - 19b = 0 Rightarrow a = -19b
Substituindo a = -19b na primeira equação:
3 - 5(-19b) - 6b = 0 Rightarrow 3 + 95b - 6b = 0 Rightarrow 3 + 89b = 0 Rightarrow b = -389
Então, a = -19 cdot (-389) = 5789

Passo 7

Agora que temos a e b, podemos encontrar x:
x = 5789(1,2,0) + (-389)(0,3,4) = (5789, 11489, 0) + (0, -989, -1289) = (5789, 10589, -1289)

Passo 8

Finalmente, encontramos y subtraindo x de u:
y = u - x = (1,1,0) - (5789, 10589, -1289) = (3289, -1689, 1289)

Resposta

u = (5789, 10589, -1289) + (3289, -1689, 1289) onde (5789, 10589, -1289) in W e (3289, -1689, 1289) é ortogonal a W.

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