Considere
e
. Escreva
onde
e
é ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa decompor o vetor
em duas partes:
que está no plano
gerado pelos vetores
e
, e
que é ortogonal a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como projeção de vetores em subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano
. Esse plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser escrito como
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a projeção do vetor
nesse plano
. A projeção é o vetor mais próximo de
que está dentro do plano. Para fazer isso, vamos considerar a base formada por
e
e montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes
e
que nos dão a projeção
.
Passo 4
Vamos escrever
. Queremos que o vetor
seja ortogonal ao plano, ou seja, ortogonal a ambos os vetores que geram o plano. Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos expandir as equações:
-
Simplificando:
-
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos encontrar
:
Passo 8
Finalmente, encontramos
subtraindo
de
: