Dadas as matrizes P, B abaixo, determine os autoespaços de P B P^-1 sem efetuar esse produto. P=(ccc1 & 1 & 1 2 & 0 & -1 1 & -1 & 1) e B=(ccc3 & 1 & -1 0 & -1 & 4 0 & 0 & 3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes e , e queremos encontrar os autoespaços de sem calcular o produto diretamente. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, mais especificamente, o conceito de similaridade de matrizes e autoespaços (também conhecidos como espaços próprios ou eigenspaces). Para resolver isso, vamos precisar entender como os autoespaços se comportam sob transformações de similaridade.

Passo 2

Sabemos que é uma matriz similar a . Uma propriedade importante de matrizes similares é que elas têm os mesmos autovalores. Portanto, os autovalores de são os mesmos que os de .

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores de 3 & 1 & -1 0 & -1 & 4 0 & 0 & 3 . A matriz é uma matriz triangular superior, o que facilita a identificação dos autovalores. Em matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Para , os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos determinar os autoespaços de B - 3I = 0 & 1 & -1 0 & -4 & 4 0 & 0 & 0 . O autoespaço correspondente a um autovalor 0v1 + v2 - v3 = 0 0v1 - 4v2 + 4v3 = 0 0 = 0 é o conjunto de vetores Autoespaçolambda=3 = span 1 0 0 , 0 1 1 tais que B + I = 4 & 1 & -1 0 & 0 & 4 0 & 0 & 4 .
Vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor de 4v1 + v2 - v3 = 0 0v1 + 0v2 + 4v3 = 0 0v1 + 0v2 + 4v3 = 0 :
Para Autoespaçolambda=-1 = span 1 -4 0 :
Resolvemos , onde é a matriz identidade.
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: ⇒ confirmação de .
Portanto, os vetores do autoespaço para são da forma , onde é um parâmetro real. Assim, o autoespaço é gerado por:
ç
Para :
Resolvemos .
Resolvendo o sistema:
Da segunda e terceira equações: .
Substituindo na primeira equação: .
Portanto, os vetores do autoespaço para são da forma , onde é um parâmetro real. Assim, o autoespaço é gerado por:
ç

Passo 5

Agora, queremos encontrar os autoespaços de . Como é similar a , os autovalores são os mesmos, e os autoespaços de são obtidos aplicando a transformação aos autoespaços de .
Isso significa que, para cada vetor no autoespaço de , o vetor estará no autoespaço correspondente de .

Passo 6

Vamos calcular os autoespaços de 1 0 0 multiplicando 0 1 1 pelos vetores geradores dos autoespaços de 1 0 0 .
Para P 1 0 0 = 1 2 1 :
Os vetores geradores são 0 1 1 e P 0 1 1 = 1 + 1 = 2 0 - 1 = -1 -1 + 1 = 0 = 2 -1 0 .
Calculando Autoespaçolambda=3 = span 1 2 1 , 2 -1 0 :
1 -4 0
Calculando 1 -4 0 :
P 1 -4 0 = 1 + (-4) + 0 = -3 2 + 0 + 0 = 2 1 + 4 + 0 = 5 = -3 2 5
Portanto, o autoespaço para Autoespaçolambda=-1 = span -3 2 5 de é:
ç
Para :
O vetor gerador é .
Calculando :
Portanto, o autoespaço para de é:
ç

Resposta

Os autoespaços de Autoespaçolambda=3 = span 1 2 1 , 2 -1 0 Autoespaçolambda=-1 = span -3 2 5 são:
çç

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