Dê exemplo de uma matriz ortogonal A 3 times 3 que leve o plano x+y-z=0 no plano z=0. Estamos falando da transformação que leva v em A v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes ortogonais e transformações de planos no espaço tridimensional. A pergunta quer que a gente encontre uma matriz que seja ortogonal e que transforme o plano no plano . Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como ela atua em planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A^T A = I é dita ortogonal se ela satisfaz a condição:
Onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas (e linhas) de são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm comprimento 1. Matrizes ortogonais representam rotações e reflexões no espaço, que preservam ângulos e distâncias.

Passo 3

Agora, vamos pensar na transformação que leva o plano 1 1 -1 ao plano 0 0 1 . Essencialmente, queremos uma rotação (ou reflexão) que “reposicione” o primeiro plano para coincidir com o segundo. Para facilitar, vamos identificar um vetor normal ao primeiro plano e ver como podemos rotacioná-lo para que seja perpendicular ao segundo plano.
O vetor normal ao plano é , e o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar uma matriz ortogonal A n1 = n2 que rotacione | n1 | = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3 para u = 1raiz3 1 1 -1 . Isso significa que queremos que:
Primeiro, vamos normalizar para garantir que seja um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Para criar a matriz de rotação, podemos usar a fórmula de rotação de Rodrigues. Essa fórmula nos dá uma matriz de rotação A = I + sintheta , K + (1 - costheta) K^2 que rotaciona qualquer vetor em torno de um eixo definido por um vetor unitário K = 0 & -kz & ky kz & 0 & -kx -ky & kx & 0 em um ângulo . A fórmula é:
Onde é a matriz de produto vetorial de :

Passo 6

Para nosso caso, queremos que k = u times n2 = 1raiz3 1 1 -1 times 0 0 1 = 1raiz3 1 -1 0 leve 1 -1 0 para . Vamos escolher o eixo de rotação perpendicular ao plano formado por e . Primeiro, encontramos usando o produto vetorial:
Então, .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o ângulo costheta = u cdot n2 = 1raiz3 1 1 -1 cdot 0 0 1 = -1raiz3 de rotação. Sabemos que theta = arccos( -1raiz3 ) será rotacionado para , então o ângulo entre eles pode ser encontrado usando o produto interno:
Portanto,

Passo 8

Com e determinados, podemos agora construir a matriz de rotação usando a fórmula de Rodrigues. Depois de calcular os termos e , e substituir na fórmula, obteremos a matriz ortogonal desejada.

Resposta

Uma matriz ortogonal A = 1raiz3 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 que transforma o plano no plano é:

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