(2 pts.) Utilize o método de Gauss-Jordan para determinar o conjunto solução do sistema linear
S=r x+y+z+w=2 2 x+3 y+2 z+2 w=3 x+y+3 z+3 w=6 z-w=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que envolve manipular uma matriz aumentada para chegar à forma reduzida, facilitando a visualização das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. Ficaria assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 2 & 3 & 2 & 2 & | & 3 1 & 1 & 3 & 3 & | & 6 0 & 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 3

O próximo passo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que está na primeira linha e primeira coluna, o número 1). Para isso, vamos fazer operações nas linhas:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 1 vez a Linha 1 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 2 & 2 & | & 4 0 & 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 4

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (o 1). Já está como gostaríamos, então vamos zerar os elementos abaixo dele. Observando a matriz, as linhas abaixo já têm zeros nessa coluna, então não precisamos fazer nada aqui.

Passo 5

Vamos continuar para o terceiro pivô, que está na terceira linha e terceira coluna (o 2). Primeiro, vamos dividir a terceira linha por 2 para que o pivô seja 1:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do terceiro pivô (a última linha, terceira coluna). Para isso, subtraímos a terceira linha da quarta linha:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0

Passo 7

Vamos tratar do quarto pivô, que está na quarta linha e quarta coluna (-2). Primeiro, dividimos a quarta linha por -2 para que o pivô seja 1:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do quarto pivô, ou seja, na quarta coluna. Para isso:
  • Linha 1: Subtrair a quarta linha da primeira linha.
  • Linha 3: Subtrair a quarta linha da terceira linha.
A matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 9

Por fim, não há mais elementos para zerar. A matriz está na forma reduzida por linhas, o que significa que podemos ler diretamente as soluções:
x + y + z = 2 y = -1 z = 2 w = 0
Substituindo e na primeira equação:

Resposta

O conjunto solução do sistema é:
x = 1 y = -1 z = 2 w = 0

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