Dados a base canônica epsilon=e1, e2, ldots, en do R^n e v=(1,2,3, ldots, n) determine [v]epsilon.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a base canônica epsilon = e1, e2, ldots, en do espaço R^n. A base canônica é uma coleção de vetores onde cada vetor tem um 1 em uma posição específica e 0 nas demais. Por exemplo, em R^3, os vetores da base canônica são e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). O exercício nos dá um vetor v = (1, 2, 3, ldots, n) e pede para determinar [v]epsilon, que é o vetor coordenado de v na base epsilon. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos da base canônica.

Passo 2

O próximo passo é lembrar como funciona a representação de vetores em uma base. Quando temos a base canônica, cada componente do vetor corresponde diretamente aos coeficientes nas direções dos vetores da base. Ou seja, se v = (v1, v2, ldots, vn), então podemos escrever:
v = v1 cdot e1 + v2 cdot e2 + ldots + vn cdot en
Aqui, v1, v2, ldots, vn são os escalares que multiplicam cada vetor da base para formar o vetor v.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso vetor v = (1, 2, 3, ldots, n), temos:
v = 1 cdot e1 + 2 cdot e2 + 3 cdot e3 + ldots + n cdot en
Cada componente do vetor v está multiplicando o vetor correspondente da base canônica. Isso significa que as coordenadas de v na base epsilon são exatamente os números que aparecem no vetor v.

Resposta

Portanto, o vetor coordenado de v na base canônica epsilon é:
[v]epsilon = 1 2 3 vdots n

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