Considere a base beta=(1,1,1),(1,0,1),(2,0,-1) de R^3. Determine: v tal que [v]beta=[c2 3 -1]

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre uma base β no espaço tridimensional R^3. A base β é composta pelos vetores (1,1,1), (1,0,1) e (2,0,-1). A gente precisa encontrar o vetor v tal que suas coordenadas nessa base são 2 3 -1. Ou seja, queremos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base β usando esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Se [v]beta = 2 3 -1, isso significa que:
v = 2 cdot (1,1,1) + 3 cdot (1,0,1) + (-1) cdot (2,0,-1)
Ou seja, multiplicamos cada vetor da base pelo seu coeficiente correspondente e somamos tudo.

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação:
  1. 2 cdot (1,1,1) = (2, 2, 2)
  2. 3 cdot (1,0,1) = (3, 0, 3)
  3. -1 cdot (2,0,-1) = (-2, 0, 1)

Passo 4

Agora, somamos os resultados das multiplicações:
(2, 2, 2) + (3, 0, 3) + (-2, 0, 1) = (2 + 3 - 2, 2 + 0 + 0, 2 + 3 + 1) = (3, 2, 6)

Resposta

Então, o vetor v é (3, 2, 6).

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