Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T: R^3 R^3, definido por T(x, y, z)=(x-3 y-2 z,-x-y-2 z, 3 x+3 y+6 z) ? T é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear definido por . Além disso, vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz associada, determinante, e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os autovalores ( ) de um operador linear são os valores que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Essa equação é chamada de polinômio característico. Então, nosso primeiro passo é montar a matriz e calcular .

Passo 3

Vamos montar a matriz de T = 1 & -3 & -2 -1 & -1 & -2 3 & 3 & 6 :
T - lambda I = 1 - lambda & -3 & -2 -1 & -1 - lambda & -2 3 & 3 & 6 - lambda
Agora, subtraímos da diagonal principal para formar :

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(T - lambda I) = (1 - lambda)[(-1 - lambda)(6 - lambda) - (-2)(3)] - (-3)[(-1)(6 - lambda) - (-2)(3)] + (-2)[(-1)(3) - (-1 - lambda)(3)] :
det(T - lambda I) = -lambda(lambda - 2)^2
Simplificando essa expressão, encontramos o polinômio característico:
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para x - 3y - 2z = 0 - x - y - 2z = 0 3x + 3y + 6z = 0 :
Resolvemos -1 & -3 & -2 -1 & -3 & -2 3 & 3 & 4 , ou seja, .
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvemos .
A matriz fica:
Resolvendo o sistema, obtemos que os autovetores são combinações lineares de e .

Passo 6

Para verificar se é diagonalizável, precisamos que haja 3 autovetores linearmente independentes. Observamos que para temos um autovetor e para temos dois autovetores independentes. Portanto, no total, temos 3 autovetores independentes, o que significa que é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores de são (com autovetor ) e (com autovetores e ). Como existem três autovetores linearmente independentes, o operador é diagonalizável.

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