Determine os autovalores e os autovetores do operador linear , definido por ? é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear definido por . Além disso, vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender conceitos como matriz associada, determinante, e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os autovalores () de um operador linear são os valores que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Essa equação é chamada de polinômio característico. Então, nosso primeiro passo é montar a matriz e calcular .
Passo 3
Vamos montar a matriz de :
Agora, subtraímos da diagonal principal para formar :
Simplificando essa expressão, encontramos o polinômio característico:
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para x - 3y - 2z = 0 - x - y - 2z = 0 3x + 3y + 6z = 0 :
Resolvemos -1 & -3 & -2 -1 & -3 & -2 3 & 3 & 4 , ou seja, .
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvemos .
A matriz fica:
Resolvendo o sistema, obtemos que os autovetores são combinações lineares de e .
Passo 6
Para verificar se é diagonalizável, precisamos que haja 3 autovetores linearmente independentes. Observamos que para temos um autovetor e para temos dois autovetores independentes. Portanto, no total, temos 3 autovetores independentes, o que significa que é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores de são (com autovetor ) e (com autovetores e ). Como existem três autovetores linearmente independentes, o operador é diagonalizável.