Determine os autovalores e os autovetores do operador linear: , definido como é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear , definido por:
Além disso, vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, determinante e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Com esses valores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 8
Vamos começar com T - 2I = 1 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 1 . Substituímos na matriz x - y + z = 0 - x + 3y - z = 0 x - y + z = 0 :
x - y + z = 0 e -x + 3y - z = 0
Resolvemos o sistema homogêneo ( x - y + z ) + ( -x + 3y - z ) = 0 + 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0 :
x + z = 0 Rightarrow z = -x
Notamos que a terceira equação é igual à primeira, então temos duas equações:
v1 = x 0 - x = x 1 0 -1
Somando as duas equações:
v1 = 1 0 -1
Substituindo na primeira equação:
Portanto, o autovetor associado a é:
Podemos escolher para facilitar, então:
Passo 9
Agora, para T - 3I = 0 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 0 , substituímos na matriz - y + z = 0 - x + 2y - z = 0 x - y = 0 :
- y + z = 0 Rightarrow z = y
Resolvemos o sistema v2 = y y y = y 1 1 1 :
v2 = 1 1 1
Da terceira equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, . O autovetor associado a é:
Escolhendo :
Passo 10
Por fim, para T - 6I = -3 & -1 & 1 -1 & -1 & -1 1 & -1 & -3 , substituímos na matriz -3x - y + z = 0 - x - y - z = 0 x - y - 3z = 0 :
- x - y - z = 0 Rightarrow x = -y - z
Resolvemos o sistema -3(-y - z) - y + z = 0 Rightarrow 3y + 3z - y + z = 0 Rightarrow 2y + 4z = 0 Rightarrow y = -2z :
v3 = z -2z z = z 1 -2 1
Vamos simplificar. Da segunda equação:
v3 = 1 -2 1
Substituindo na primeira:
Substituindo e .
Portanto, o autovetor associado a é:
Escolhendo :
Passo 11
Com os três autovalores, e e seus respectivos autovetores, podemos afirmar que é diagonalizável.
Isso porque temos três autovalores distintos, cada um com um autovetor linearmente independente. Assim, existe uma base de composta por esses autovetores, e a matriz de pode ser diagonalizada.
Resposta
Os autovalores de v1 = 1 0 -1 , v2 = 1 1 1 , v3 = 1 -2 1 são , e , com os respectivos autovetores: