Determine os autovalores e os autovetores do operador linear: T: R^3 R^3, definido como T(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y-z, x-y+3 z) T é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear T(x, y, z) = (3x - y + z, -x + 5y - z, x - y + 3z) , definido por:
Além disso, vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, determinante e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 3

Vamos montar a matriz T - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 5 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = 3 - lambda & -1 & 1 -1 & 5 - lambda & -1 1 & -1 & 3 - lambda
Para calcular, podemos expandir pelo método de Sarrus ou cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores:
det(T - lambda I) = (3 - lambda)[(5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(-1)] + 1[(-1)(3 - lambda) - (1)(-1)] + 1[(-1)(-1) - (5 - lambda)(1)]
Simplificando:
= (3 - lambda)[(5 - lambda)(3 - lambda) - 1] + 1[-(3 - lambda) + 1] + 1[1 - (5 - lambda)]
= (3 - lambda)(15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2) - 1 + 1[-3 + lambda + 1] + 1[1 - 5 + lambda]
= (3 - lambda)(lambda^2 - 8lambda + 14) + (lambda - 2) + (lambda - 4)
Expandindo:
= (3 - lambda)(lambda^2 - 8lambda + 14) + 2lambda - 6
= 3lambda^2 - 24lambda + 42 - lambda^3 + 8lambda^2 - 14lambda + 2lambda - 6

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
-lambda^3 + 11lambda^2 - 36lambda + 36 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - 11lambda^2 + 36lambda - 36 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Tentamos valores inteiros que sejam divisores de 36, como 2^3 - 11 cdot 2^2 + 36 cdot 2 - 36 = 8 - 44 + 72 - 36 = 0 .
Testando :
Então, é um autovalor.

Passo 6

Fazendo a divisão polinomial por lambda^3 - 11lambda^2 + 36lambda - 36 = (lambda - 2)(lambda^2 - 9lambda + 18) , obtemos:
lambda^2 - 9lambda + 18 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm raiz92 = 9 pm 32
Usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 122 = 6 e lambda = 62 = 3
Portanto, os outros autovalores são:

Passo 7

Agora, temos os três autovalores:
lambda1 = 2, lambda2 = 3, lambda3 = 6
Com esses valores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 8

Vamos começar com T - 2I = 1 & -1 & 1 -1 & 3 & -1 1 & -1 & 1 . Substituímos na matriz x - y + z = 0 - x + 3y - z = 0 x - y + z = 0 :
x - y + z = 0 e -x + 3y - z = 0
Resolvemos o sistema homogêneo ( x - y + z ) + ( -x + 3y - z ) = 0 + 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0 :
x + z = 0 Rightarrow z = -x
Notamos que a terceira equação é igual à primeira, então temos duas equações:
v1 = x 0 - x = x 1 0 -1
Somando as duas equações:
v1 = 1 0 -1
Substituindo na primeira equação:
Portanto, o autovetor associado a é:
Podemos escolher para facilitar, então:

Passo 9

Agora, para T - 3I = 0 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & -1 & 0 , substituímos na matriz - y + z = 0 - x + 2y - z = 0 x - y = 0 :
- y + z = 0 Rightarrow z = y
Resolvemos o sistema v2 = y y y = y 1 1 1 :
v2 = 1 1 1
Da terceira equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, . O autovetor associado a é:
Escolhendo :

Passo 10

Por fim, para T - 6I = -3 & -1 & 1 -1 & -1 & -1 1 & -1 & -3 , substituímos na matriz -3x - y + z = 0 - x - y - z = 0 x - y - 3z = 0 :
- x - y - z = 0 Rightarrow x = -y - z
Resolvemos o sistema -3(-y - z) - y + z = 0 Rightarrow 3y + 3z - y + z = 0 Rightarrow 2y + 4z = 0 Rightarrow y = -2z :
v3 = z -2z z = z 1 -2 1
Vamos simplificar. Da segunda equação:
v3 = 1 -2 1
Substituindo na primeira:
Substituindo e .
Portanto, o autovetor associado a é:
Escolhendo :

Passo 11

Com os três autovalores , e e seus respectivos autovetores, podemos afirmar que é diagonalizável.
Isso porque temos três autovalores distintos, cada um com um autovetor linearmente independente. Assim, existe uma base de composta por esses autovetores, e a matriz de pode ser diagonalizada.

Resposta

Os autovalores de v1 = 1 0 -1 , v2 = 1 1 1 , v3 = 1 -2 1 são , e , com os respectivos autovetores:
Além disso, é diagonalizável.

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