Seja T: R^3 R^3 uma Transformação Linear cuja matriz com relação à base canônica seja [T] canonica =[ccc1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1] O operador T é invertível? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada por uma matriz ô. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é invertível. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes, que são ferramentas-chave em álgebra linear para analisar propriedades como a invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser invertível. Uma transformação linear é invertível se existe outra transformação tal que, ao aplicar e depois (ou vice-versa), você volta ao ponto de partida. Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz que representa tiver um determinante diferente de zero. Ou seja, se ô, então é invertível.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz [T]canônica = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 ô:
det([T]canônica) = 1 cdot det 0 & 1 -1 & -1 - 1 cdot det -1 & 1 0 & -1 + 0 cdot det -1 & 0 0 & -1 ô
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar:
det 0 & 1 -1 & -1 = (0 cdot (-1)) - (1 cdot (-1)) = 0 + 1 = 1 ô
Calculando cada determinante menor:
det -1 & 1 0 & -1 = (-1 cdot (-1)) - (1 cdot 0) = 1 - 0 = 1
det([T]canônica) = 1 cdot 1 - 1 cdot 1 + 0 cdot (qualquer coisa) = 1 - 1 + 0 = 0
Agora, substituindo de volta na expressão:
ô

Resposta

Como o determinante de ô é zero, isso significa que a transformação linear não é invertível.

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