Seja uma Transformação Linear cuja matriz com relação à base canônica seja O operador T é invertível? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear representada por uma matriz ô. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é invertível. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e determinantes, que são ferramentas-chave em álgebra linear para analisar propriedades como a invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser invertível. Uma transformação linear é invertível se existe outra transformação tal que, ao aplicar e depois (ou vice-versa), você volta ao ponto de partida. Em termos de matrizes, isso acontece se a matriz que representa tiver um determinante diferente de zero. Ou seja, se ô, então é invertível.
det([T]canônica) = 1 cdot det 0 & 1 -1 & -1 - 1 cdot det -1 & 1 0 & -1 + 0 cdot det -1 & 0 0 & -1 ô
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar: