Determine, justificando sua resposta, se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes afirmativas sobre TLs: Se
satisfaz
, então
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear (TL)
que satisfaz
. A pergunta é: se
, isso garante que
é linear? Para responder, vamos lembrar o que define uma transformação linear e ver se apenas
é suficiente.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é chamada de linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos . - Homogeneidade:
para todo escalar e todo .
Essas duas condições juntas garantem que
preserve a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
A condição
é uma consequência das propriedades de uma transformação linear. Se
é linear, então necessariamente
. Isso acontece porque, se considerarmos
na homogeneidade:
Passo 4
No entanto, a questão pergunta o contrário: se
, isso implica que
é linear? A resposta é não. O fato de uma transformação enviar o vetor zero para o vetor zero é necessário para a linearidade, mas não é suficiente. Podemos ter funções que enviam zero para zero, mas não satisfazem as propriedades de aditividade ou homogeneidade.
Passo 5
Para ilustrar, vamos considerar um exemplo:
Defina
por
.
Aqui,
.
Mas
não é linear porque, por exemplo:
- Aditividade:
enquanto . Então, . - Homogeneidade:
enquanto . Logo, .
Isso mostra que mesmo com
, a transformação não é linear.
Resposta
Falso. A condição
não garante que
seja uma transformação linear.