Determine, justificando sua resposta, se é verdadeiro ou falso cada um das seguintes afirmativas sobre TLs: Se T: R^n R^m satisfaz T(0)=0, então T é linear.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear (TL) que satisfaz . A pergunta é: se , isso garante que é linear? Para responder, vamos lembrar o que define uma transformação linear e ver se apenas é suficiente.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é chamada de linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo .
Essas duas condições juntas garantem que preserve a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

A condição T(0 cdot u) = 0 cdot T(u) implies T(0) = 0 é uma consequência das propriedades de uma transformação linear. Se é linear, então necessariamente . Isso acontece porque, se considerarmos na homogeneidade:

Passo 4

No entanto, a questão pergunta o contrário: se , isso implica que é linear? A resposta é não. O fato de uma transformação enviar o vetor zero para o vetor zero é necessário para a linearidade, mas não é suficiente. Podemos ter funções que enviam zero para zero, mas não satisfazem as propriedades de aditividade ou homogeneidade.

Passo 5

Para ilustrar, vamos considerar um exemplo:
Defina por .
Aqui, .
Mas não é linear porque, por exemplo:
  • Aditividade: enquanto . Então, .
  • Homogeneidade: enquanto . Logo, .
Isso mostra que mesmo com , a transformação não é linear.

Resposta

Falso. A condição não garante que seja uma transformação linear.

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