Considere a base canônica de
dada por
Seja
uma transformação linear tal que
Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Estamos trabalhando no espaço bidimensional
com a base canônica
. Temos uma transformação linear
que transforma os vetores da base de uma maneira específica:
e
. O que a gente precisa descobrir é como essa transformação
age em qualquer vetor
de
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e combinar os vetores de forma apropriada.
Passo 2
Vamos pensar em um vetor qualquer
. Esse vetor pode ser escrito como
, onde
e
são números reais que representam as coordenadas de
.
Passo 3
Como estamos usando a base canônica
, podemos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
Aqui,
e
são os coeficientes que multiplicam cada vetor da base.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformação linear
ao vetor
. Uma das propriedades das transformações lineares é que elas respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Então:
Devido à linearidade de
, isso pode ser distribuído da seguinte forma:
Passo 5
Sabemos, pelo enunciado, que:
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Agora, vamos realizar as operações de multiplicação e adição dos vetores:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto de vetores
é linearmente independente ou dependente.
Tome dois vetores,
e
. Substitua o vetor
pelo vetor
e recalcule as coordenadas de
com relação à nova base.
Considere a base de
dada por
Determine a transformação linear
tal que
Determine a imagem dos vetores
e
.