Considere a base canônica de dada por
Seja uma transformação linear tal que
Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Estamos trabalhando no espaço bidimensional com a base canônica . Temos uma transformação linear que transforma os vetores da base de uma maneira específica: e . O que a gente precisa descobrir é como essa transformação age em qualquer vetor de . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e combinar os vetores de forma apropriada.

Passo 2

Vamos pensar em um vetor qualquer . Esse vetor pode ser escrito como , onde e são números reais que representam as coordenadas de .

Passo 3

Como estamos usando a base canônica , podemos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
Aqui, e são os coeficientes que multiplicam cada vetor da base.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação linear ao vetor . Uma das propriedades das transformações lineares é que elas respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Então:
Devido à linearidade de , isso pode ser distribuído da seguinte forma:

Passo 5

Sabemos, pelo enunciado, que:
Substituindo esses valores na expressão anterior:
Agora, vamos realizar as operações de multiplicação e adição dos vetores:

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente.
Tome dois vetores, e . Substitua o vetor pelo vetor e recalcule as coordenadas de com relação à nova base.
Considere a base de dada por
Determine a transformação linear tal que
Determine a imagem dos vetores e .