Considere a base canônica de R^2 dada por
beta=(0,1),(1,0)
Seja T: R^2 longrightarrow R^2 uma transformação linear tal que
T(1,0)=(1,1), e T(0,1)=(2,-1)
Determine T(u), forall u in R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Estamos trabalhando no espaço bidimensional R^2 com a base canônica beta = (0,1),(1,0). Temos uma transformação linear T que transforma os vetores da base de uma maneira específica: T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (2,-1). O que a gente precisa descobrir é como essa transformação T age em qualquer vetor u de R^2. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e combinar os vetores de forma apropriada.

Passo 2

Vamos pensar em um vetor qualquer u in R^2. Esse vetor pode ser escrito como u = (x, y), onde x e y são números reais que representam as coordenadas de u.

Passo 3

Como estamos usando a base canônica beta = (0,1),(1,0), podemos expressar u como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
u = x cdot (1,0) + y cdot (0,1)
Aqui, x e y são os coeficientes que multiplicam cada vetor da base.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformação linear T ao vetor u. Uma das propriedades das transformações lineares é que elas respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. Então:
T(u) = T(x cdot (1,0) + y cdot (0,1))
Devido à linearidade de T, isso pode ser distribuído da seguinte forma:
T(u) = x cdot T(1,0) + y cdot T(0,1)

Passo 5

Sabemos, pelo enunciado, que:
T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (2,-1)
Substituindo esses valores na expressão anterior:
T(u) = x cdot (1,1) + y cdot (2,-1)
Agora, vamos realizar as operações de multiplicação e adição dos vetores:
T(u) = (x + 2y, x - y)

Resposta

T(u) = (x + 2y, x - y)

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