Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se esses vetores podem ser escritos um como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar uma equação onde uma combinação linear desses vetores iguala o vetor zero:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar esse sistema:
Da primeira equação:
c1 = 0
Substituindo c1 = 0 na segunda equação:
0 + 2c2 + c3 = 0 Rightarrow 2c2 + c3 = 0
Substituindo c1 = 0 na terceira equação:
0 + 3c2 + 2c3 = 0 Rightarrow 3c2 + 2c3 = 0
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações:
2c2 + c3 = 0 3c2 + 2c3 = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de c2 e c3.
Passo 6
Usando a primeira equação para expressar c3 em termos de c2:
c3 = -2c2
Substituindo esse valor na segunda equação:
3c2 + 2(-2c2) = 0 3c2 - 4c2 = 0 - c2 = 0 c2 = 0
Passo 7
Agora que temos c2 = 0, substituindo de volta na expressão para c3:
c3 = -2 cdot 0 = 0
Resposta
Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores (1,6,4),(0,2,3),(0,1,2) são linearmente independentes.