Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como testar se esses vetores podem ser escritos um como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar uma equação onde uma combinação linear desses vetores iguala o vetor zero:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 6
Usando a primeira equação para expressar em termos de :
Substituindo esse valor na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos , substituindo de volta na expressão para :
Resposta
Como a única solução para o sistema é , os vetores são linearmente independentes.