Considere a base de R^3 dada por
beta=(1,2,1),(0,1,0),(0,0,1)
Determine a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2 tal que
T(1,2,1)=(1,1), T(0,1,0)=(0,2) e T(0,0,1)=(2,0)
Determine a imagem dos vetores u=(2,-1,3) e v=(2,0,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear baseada numa certa base . Além disso, já temos as imagens de cada vetor dessa base através de . Depois, precisamos descobrir como age em dois vetores específicos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma transformação linear: é uma função que respeita duas operações básicas, a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, se T(a + b) = T(a) + T(b) é linear, então para quaisquer vetores T(ca) = cT(a) e escalar , temos:
Isso nos ajuda a construir a partir dos vetores da base .

Passo 3

Como temos a base x = a(1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1) de , qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e em termos de , e .

Passo 4

Vamos montar as equações correspondentes:
x1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 Rightarrow x1 = a
x2 = a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 Rightarrow x2 = 2a + b
x3 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 Rightarrow x3 = a + c
Agora, podemos resolver essas equações para , e .

Passo 5

Da primeira equação, já temos:
a = x1
Substituindo x2 = 2x1 + b Rightarrow b = x2 - 2x1 na segunda equação:
x3 = x1 + c Rightarrow c = x3 - x1
E na terceira equação:
Agora conhecemos , e em função das coordenadas de .

Passo 6

Agora, usando a linearidade de T(x) = T(a(1,2,1) + b(0,1,0) + c(0,0,1)) = aT(1,2,1) + bT(0,1,0) + cT(0,0,1) , podemos escrever:
T(x) = a(1,1) + b(0,2) + c(2,0)
Substituindo os valores dados:

Passo 7

Agora, vamos substituir T(x) = x1(1,1) + (x2 - 2x1)(0,2) + (x3 - x1)(2,0) , T(x) = (x1 cdot 1 + (x2 - 2x1) cdot 0 + (x3 - x1) cdot 2, ; x1 cdot 1 + (x2 - 2x1) cdot 2 + (x3 - x1) cdot 0) e x1 + 0 + 2x3 - 2x1 = 2x3 - x1 que encontramos:
x1 + 2x2 - 4x1 + 0 = 2x2 - 3x1
Vamos distribuir e somar as componentes:
T(x) = (2x3 - x1, ; 2x2 - 3x1)
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Então, a transformação fica:

Passo 8

Agora que temos a expressão geral para T(u) = T(2, -1, 3) = (2 cdot 3 - 2, ; 2 cdot (-1) - 3 cdot 2) = (6 - 2, -2 - 6) = (4, -8) , podemos encontrar as imagens dos vetores T(v) = T(2, 0, 3) = (2 cdot 3 - 2, ; 2 cdot 0 - 3 cdot 2) = (6 - 2, 0 - 6) = (4, -6) e .
Para :
Para :

Resposta

A transformação linear T(x1, x2, x3) = (2x3 - x1, ; 2x2 - 3x1) é dada por:
T(u) = (4, -8) e T(v) = (4, -6)
As imagens dos vetores são:

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