Considere a base de
dada por
Determine a transformação linear
tal que
Determine a imagem dos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear
baseada numa certa base
. Além disso, já temos as imagens de cada vetor dessa base através de
. Depois, precisamos descobrir como
age em dois vetores específicos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma transformação linear: é uma função que respeita duas operações básicas, a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, se
é linear, então para quaisquer vetores
e escalar
, temos:
Isso nos ajuda a construir
a partir dos vetores da base
.
Passo 3
Como temos a base
de
, qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
em termos de
,
e
.
Passo 4
Vamos montar as equações correspondentes:
Agora, podemos resolver essas equações para
,
e
.
Passo 5
Da primeira equação, já temos:
Substituindo
na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora conhecemos
,
e
em função das coordenadas de
.
Passo 6
Agora, usando a linearidade de
, podemos escrever:
Substituindo os valores dados:
Passo 7
Agora, vamos substituir
,
e
que encontramos:
Vamos distribuir e somar as componentes:
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Então, a transformação fica:
Passo 8
Agora que temos a expressão geral para
, podemos encontrar as imagens dos vetores
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
As imagens dos vetores são: