Considere a base de dada por
Determine a transformação linear tal que
Determine a imagem dos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma transformação linear baseada numa certa base . Além disso, já temos as imagens de cada vetor dessa base através de . Depois, precisamos descobrir como age em dois vetores específicos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma transformação linear: é uma função que respeita duas operações básicas, a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Ou seja, se é linear, então para quaisquer vetores e escalar , temos:
Isso nos ajuda a construir a partir dos vetores da base .

Passo 3

Como temos a base de , qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e em termos de , e .

Passo 4

Vamos montar as equações correspondentes:
Agora, podemos resolver essas equações para , e .

Passo 5

Da primeira equação, já temos:
Substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora conhecemos , e em função das coordenadas de .

Passo 6

Agora, usando a linearidade de , podemos escrever:
Substituindo os valores dados:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e que encontramos:
Vamos distribuir e somar as componentes:
Simplificando cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Então, a transformação fica:

Passo 8

Agora que temos a expressão geral para , podemos encontrar as imagens dos vetores e .
Para :
Para :

Resposta

A transformação linear é dada por:
As imagens dos vetores são:

Exercícios relacionados

Tome dois vetores, e . Substitua o vetor pelo vetor e recalcule as coordenadas de com relação à nova base.
Considere a base canônica de dada por
Seja uma transformação linear tal que
Determine .
Seja a função


Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
a) A norma do vetor ;
Encontre a inversa de
(b)